論文の概要: Near-Optimal Algorithms for Linear Algebra in the Current Matrix Multiplication Time

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.08090v1
• Date: Fri, 16 Jul 2021 19:34:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-07-21 11:21:05.086836
• Title: Near-Optimal Algorithms for Linear Algebra in the Current Matrix Multiplication Time
• Title（参考訳）: 現在の行列乗算時間における線形代数の近似最適アルゴリズム
• Authors: Nadiia Chepurko, Kenneth L. Clarkson, Praneeth Kacham and David P. Woodruff
• Abstract要約: 既存の定数係数近似のスケッチ次元における対数的要素について、Nelson and Nguyen (FOCS, 2013) の主な開問題を回避する方法を示す。 私たちが使用している重要なテクニックは、不確実性原理と抽出子に基づくIndykの明示的なマッピングです。 ランク計算と列の線形独立部分集合の探索という基本的な問題に対して、我々のアルゴリズムはCheung, Kwok, Lau (JACM, 2013)を改良し、それぞれ定数係数と$log(n)$-factorの範囲内で最適である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 46.31710224483631
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
• Abstract: Currently, in the numerical linear algebra community, it is thought that to obtain nearly-optimal bounds for various problems such as rank computation, finding a maximal linearly independent subset of columns, regression, low rank approximation, maximum matching on general graphs and linear matroid union, one would need to resolve the main open question of Nelson and Nguyen (FOCS, 2013) regarding the logarithmic factors in the sketching dimension for existing constant factor approximation oblivious subspace embeddings. We show how to bypass this question using a refined sketching technique, and obtain optimal or nearly optimal bounds for these problems. A key technique we use is an explicit mapping of Indyk based on uncertainty principles and extractors, which after first applying known oblivious subspace embeddings, allows us to quickly spread out the mass of the vector so that sampling is now effective, and we avoid a logarithmic factor that is standard in the sketching dimension resulting from matrix Chernoff bounds. For the fundamental problems of rank computation and finding a linearly independent subset of columns, our algorithms improve Cheung, Kwok, and Lau (JACM, 2013) and are optimal to within a constant factor and a $\log\log(n)$-factor, respectively. Further, for constant factor regression and low rank approximation we give the first optimal algorithms, for the current matrix multiplication exponent.
• Abstract（参考訳）: Currently, in the numerical linear algebra community, it is thought that to obtain nearly-optimal bounds for various problems such as rank computation, finding a maximal linearly independent subset of columns, regression, low rank approximation, maximum matching on general graphs and linear matroid union, one would need to resolve the main open question of Nelson and Nguyen (FOCS, 2013) regarding the logarithmic factors in the sketching dimension for existing constant factor approximation oblivious subspace embeddings. 改良されたスケッチ技術を用いてこの問題を回避し、これらの問題に対して最適あるいはほぼ最適な境界を求める方法を示す。 キーとなる手法は不確実性原理と抽出器に基づくIndykの明示的なマッピングであり、まずは未知の部分空間埋め込みを適用した後、ベクトルの質量を急速に広げてサンプリングが効果的になるようにし、行列チェルノフ境界から生じるスケッチ次元において標準となる対数係数を避ける。 ランク計算と列の線形独立部分集合の探索という基本的な問題に対して、我々のアルゴリズムはCheung, Kwok, Lau (JACM, 2013)を改善し、それぞれ定数係数と$\log\log(n)$-factorの範囲で最適である。 さらに、定数因子回帰と低階近似に対しては、現在の行列乗法指数に対して最初の最適アルゴリズムを与える。

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