論文の概要: Nonasymptotic one-and two-sample tests in high dimension with unknown
covariance structure
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.01730v1
- Date: Wed, 1 Sep 2021 06:22:53 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-09-12 10:58:19.176089
- Title: Nonasymptotic one-and two-sample tests in high dimension with unknown
covariance structure
- Title（参考訳）: 未知の共分散構造を持つ高次元における漸近的一・二サンプル試験
- Authors: Gilles Blanchard (CNRS, LMO, DATASHAPE), Jean-Baptiste Fermanian (ENS
Rennes)
- Abstract要約: テストの問題は、$mu が 0 に対して $eta-閉である場合、すなわち $|mu| geq (eta + delta)$ に対して $|mu| leq eta である。
本研究の目的は,I型とII型の両方の誤差を所定のレベルで制御できるように,最小分離距離$の漸近的上下境界を求めることである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Let $\mathbf{X} = (X_i)_{1\leq i \leq n}$ be an i.i.d. sample of
square-integrable variables in $\mathbb{R}^d$, with common expectation $\mu$
and covariance matrix $\Sigma$, both unknown. We consider the problem of
testing if $\mu$ is $\eta$-close to zero, i.e. $\|\mu\| \leq \eta $ against
$\|\mu\| \geq (\eta + \delta)$; we also tackle the more general two-sample mean
closeness testing problem. The aim of this paper is to obtain nonasymptotic
upper and lower bounds on the minimal separation distance $\delta$ such that we
can control both the Type I and Type II errors at a given level. The main
technical tools are concentration inequalities, first for a suitable estimator
of $\|\mu\|^2$ used a test statistic, and secondly for estimating the operator
and Frobenius norms of $\Sigma$ coming into the quantiles of said test
statistic. These properties are obtained for Gaussian and bounded
distributions. A particular attention is given to the dependence in the
pseudo-dimension $d_*$ of the distribution, defined as $d_* :=
\|\Sigma\|_2^2/\|\Sigma\|_\infty^2$. In particular, for $\eta=0$, the minimum
separation distance is ${\Theta}(d_*^{\frac{1}{4}}\sqrt{\|\Sigma\|_\infty/n})$,
in contrast with the minimax estimation distance for $\mu$, which is
${\Theta}(d_e^{\frac{1}{2}}\sqrt{\|\Sigma\|_\infty/n})$ (where
$d_e:=\|\Sigma\|_1/\|\Sigma\|_\infty$). This generalizes a phenomenon spelled
out in particular by Baraud (2002).
- Abstract（参考訳）: $\mathbf{X} = (X_i)_{1\leq i \leq n}$ を $\mathbb{R}^d$ の平方可積分変数のサンプルとし、共通の期待値 $\mu$ と共分散行列 $\Sigma$ をともに未知とする。
例えば、$\|\mu\| \leq \eta $ 対 $\|\mu\| \geq (\eta + \delta)$ に対して $\mu$ が 0 に対して $\eta$-close である場合、テストの問題を考える。
本研究の目的は,I型とII型の両方の誤差を所定のレベルで制御できるように,最小分離距離$\delta$の漸近的上下境界を求めることである。
主な技術ツールは濃度不等式であり、第一に、適切な推定値が$\|\mu\|^2$ であり、第二に、演算子とフロベニウスノルムを推定するために$\sigma$ が、テスト統計の四元数に入る。
これらの性質はガウス分布と有界分布に対して得られる。
特に、分布の擬次元 $d_*$ への依存について、$d_* := \|\Sigma\|_2^2/\|\Sigma\|_\infty^2$ と定義される。
特に$\eta=0$の場合、最小分離距離は${\Theta}(d_*^{\frac{1}{4}}\sqrt{\|\Sigma\|_\infty/n})$であるのに対し、${\Theta}(d_e^{\frac{1}{2}}\sqrt{\|\Sigma\|_\infty/n})$($d_e:=\|\Sigma\|_1/\|\Sigma\|_\infty$)$である。
このことは特に Baraud (2002) によって綴られた現象を一般化する。
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