論文の概要: Equiangular lines via matrix projection

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.15842v2
• Date: Mon, 20 Mar 2023 19:43:04 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-24 05:51:25.654199
• Title: Equiangular lines via matrix projection
• Title（参考訳）: 行列投影による等角線
• Authors: Igor Balla
• Abstract要約: 1973年、Lemmens と Seidel は、角 $arccos(alpha)$ の等角線の最大数を $mathbbRr$ で決定する問題を提起した。 最近のブレークスルーはこの問題のほぼ完全な解決に繋がった。 本稿では,従来のアプローチを統一し,改善する上界を求める新しい手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In 1973, Lemmens and Seidel posed the problem of determining the maximum number of equiangular lines in $\mathbb{R}^r$ with angle $\arccos(\alpha)$ and gave a partial answer in the regime $r \leq 1/\alpha^2 - 2$. At the other extreme where $r$ is at least exponential in $1/\alpha$, recent breakthroughs have led to an almost complete resolution of this problem. In this paper, we introduce a new method for obtaining upper bounds which unifies and improves upon previous approaches, thereby bridging the gap between the aforementioned regimes, as well as significantly extending or improving all previously known bounds when $r \geq 1/\alpha^2 - 2$. Our method is based on orthogonal projection of matrices with respect to the Frobenius inner product and it also yields the first extension of the Alon-Boppana theorem to dense graphs, with equality for strongly regular graphs corresponding to $\binom{r+1}{2}$ equiangular lines in $\mathbb{R}^r$. Applications of our method in the complex setting will be discussed as well.
• Abstract（参考訳）: 1973年、lemmens と seidel は、角 $\arccos(\alpha)$ を持つ$\mathbb{r}^r$ の等角線の最大数を決定する問題を提起し、r \leq 1/\alpha^2 - 2$ というレジームにおいて部分的な答えを与えた。 一方、$r$が少なくとも1/alpha$で指数関数的である場合、最近のブレークスルーはこの問題のほぼ完全な解決につながった。 本稿では,従来のアプローチを統一し,改善する上界を得るための新しい手法を提案する。これにより,前述の政権間のギャップを埋めるとともに,$r \geq 1/\alpha^2 - 2$の場合に,既知境界をすべて拡張あるいは改善する。 この方法はフロベニウスの内積に対する行列の直交射影に基づいており、さらに、アロン・ボッパナの定理の高密度グラフへの最初の拡張をもたらし、$\mathbb{R}^r$における$\binom{r+1}{2}=等角線に対応する強い正則グラフに対する等式も得られる。 本手法の複雑な設定における応用についても考察する。

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