論文の概要: De Rham compatible Deep Neural Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2201.05395v1
- Date: Fri, 14 Jan 2022 11:22:13 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-01-17 15:28:47.832093
- Title: De Rham compatible Deep Neural Networks
- Title（参考訳）: de rham互換のディープニューラルネットワーク
- Authors: Marcello Longo, Joost A. A. Opschoor, Nico Disch, Christoph Schwab,
Jakob Zech
- Abstract要約: 我々は、ReLUとBi Step Unitをアクティベートしたニューラルネットワークのクラスを複数構築する。
有限およびポリヘドラの正則、単純分割上の最小次要素空間(FE)をエミュレートする。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We construct several classes of neural networks with ReLU and BiSU (Binary
Step Unit) activations, which exactly emulate the lowest order Finite Element
(FE) spaces on regular, simplicial partitions of polygonal and polyhedral
domains $\Omega \subset \mathbb{R}^d$, $d=2,3$. For continuous, piecewise
linear (CPwL) functions, our constructions generalize previous results in that
arbitrary, regular simplicial partitions of $\Omega$ are admitted, also in
arbitrary dimension $d\geq 2$.
Vector-valued elements emulated include the classical Raviart-Thomas and the
first family of N\'{e}d\'{e}lec edge elements on triangles and tetrahedra.
Neural Networks emulating these FE spaces are required in the correct
approximation of boundary value problems of electromagnetism in nonconvex
polyhedra $\Omega \subset \mathbb{R}^3$, thereby constituting an essential
ingredient in the application of e.g. the methodology of ``physics-informed
NNs'' or ``deep Ritz methods'' to electromagnetic field simulation via deep
learning techniques. They satisfy exact (De Rham) sequence properties, and also
spawn discrete boundary complexes on $\partial\Omega$ which satisfy exact
sequence properties for the surface divergence and curl operators
$\mathrm{div}_\Gamma$ and $\mathrm{curl}_\Gamma$, respectively, thereby
enabling ``neural boundary elements'' for computational electromagnetism.
We indicate generalizations of our constructions to higher-order compatible
spaces and other, non-compatible classes of discretizations in particular the
Crouzeix-Raviart elements and Hybridized, Higher Order (HHO) methods.
- Abstract（参考訳）: ReLU と BiSU (Binary Step Unit) をアクティベートしたいくつかのニューラルネットワークのクラスを構築し、これは正則な多角形および多面体領域の単純分割上の有限要素(FE)空間を正確にエミュレートする。
連続的、ピースワイズ線型(CPwL)函数に対して、我々の構成は以前の結果を一般化して、$\Omega$ の任意の正則な単純分割が、任意の次元 $d\geq 2$ で認められる。
ベクトル値要素のエミュレートには、古典的なラヴィアート=トーマスと、三角形とテトラヘドラ上の N'{e}d\'{e}lec エッジ要素の最初のファミリーが含まれる。
これらのfe空間をエミュレートするニューラルネットワークは、非凸ポリヘドラ $\omega \subset \mathbb{r}^3$ における電磁気学の境界値問題の正しい近似において必要であり、例えば ‘physics-informed nns'' や ‘deep ritz method’ の方法論を深層学習技術による電磁場シミュレーションに適用する上で必須の要素となる。
それらはそれぞれ正確な (De Rham) 列の性質を満足し、また、曲面の発散に対する正確な列の性質を満たす$\partial\Omega$ と、計算電磁界に対する '' 境界要素' を可能にする$\mathrm{div}_\Gamma$ と$\mathrm{curl}_\Gamma$ のそれぞれを満たす離散境界錯体を生成する。
我々は、高階互換空間や、特にクローゼックス・ラヴィアート元とハイブリダイド・ハイア・オーダー(HHO)法における非互換な離散化のクラスへの我々の構成の一般化を示す。
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