論文の概要: Constructive Universal Approximation and Finite Sample Memorization by Narrow Deep ReLU Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.06555v2
- Date: Tue, 24 Jun 2025 13:20:03 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-06-25 19:48:23.251768
- Title: Constructive Universal Approximation and Finite Sample Memorization by Narrow Deep ReLU Networks
- Title（参考訳）: Narrow Deep ReLU ネットワークによる構成的普遍近似と有限サンプル記憶
- Authors: Martín Hernández, Enrique Zuazua,
- Abstract要約: 我々は$N$の異なる点を持つデータセットが$mathbbRd$と$M$の出力クラスを正確に分類できることを示した。
また、任意の有界領域に対して$Lp(Omega; mathbbRm)$の普遍近似定理も証明する。
我々の結果は、深層ニューラルネットワークにおける制御性、表現性、およびトレーニングのダイナミクスを接続する統一的で解釈可能なフレームワークを提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We present a fully constructive analysis of deep ReLU neural networks for classification and function approximation tasks. First, we prove that any dataset with $N$ distinct points in $\mathbb{R}^d$ and $M$ output classes can be exactly classified using a multilayer perceptron (MLP) of width $2$ and depth at most $2N + 4M - 1$, with all network parameters constructed explicitly. This result is sharp with respect to width and is interpreted through the lens of simultaneous or ensemble controllability in discrete nonlinear dynamics. Second, we show that these explicit constructions yield uniform bounds on the parameter norms and, in particular, provide upper estimates for minimizers of standard regularized training loss functionals in supervised learning. As the regularization parameter vanishes, the trained networks converge to exact classifiers with bounded norm, explaining the effectiveness of overparameterized training in the small-regularization regime. We also prove a universal approximation theorem in $L^p(\Omega; \mathbb{R}_+)$ for any bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ and $p \in [1, \infty)$, using MLPs of fixed width $d + 1$. The proof is constructive, geometrically motivated, and provides explicit estimates on the network depth when the target function belongs to the Sobolev space $W^{1,p}$. We also extend the approximation and depth estimation results to $L^p(\Omega; \mathbb{R}^m)$ for any $m \geq 1$. Our results offer a unified and interpretable framework connecting controllability, expressivity, and training dynamics in deep neural networks.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,Deep ReLUニューラルネットワークの分類と関数近似のための完全に構成的な解析法を提案する。
まず、$N$の異なる点を持つ$\mathbb{R}^d$と$M$の出力クラスを持つデータセットは、幅2$と深さ2N + 4M − 1$の多層パーセプトロン(MLP)を用いて正確に分類でき、全てのネットワークパラメータが明示的に構成されていることを証明する。
この結果は幅に関して鋭く、離散非線形力学における同時あるいはアンサンブル制御性のレンズを通して解釈される。
第二に、これらの明示的な構成はパラメータノルムに一様境界を与え、特に、教師あり学習における標準正規化学習損失関数の最小化に対する上限推定を提供する。
正規化パラメータがなくなると、訓練されたネットワークは境界ノルムを持つ正確な分類器に収束し、小正規化システムにおける過パラメータ化トレーニングの有効性を説明する。
L^p(\Omega; \mathbb{R}_+)$ の任意の有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ および $p \in [1, \infty)$ に対する普遍近似定理も、固定幅 $d + 1$ の MLP を用いて証明する。
この証明は構成的で幾何学的な動機付けがあり、対象関数がソボレフ空間$W^{1,p}$に属するとき、ネットワーク深さについて明示的な推定を与える。
また、近似と深さ推定結果を任意の$m \geq 1$に対して$L^p(\Omega; \mathbb{R}^m)$に拡張する。
我々の結果は、深層ニューラルネットワークにおける制御性、表現性、およびトレーニングのダイナミクスを接続する統一的で解釈可能なフレームワークを提供する。
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