論文の概要: De Rham compatible Deep Neural Network FEM
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2201.05395v3
- Date: Fri, 2 Jun 2023 08:38:19 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-05 21:27:16.161684
- Title: De Rham compatible Deep Neural Network FEM
- Title（参考訳）: de rham互換深層ニューラルネットワークfem
- Authors: Marcello Longo, Joost A. A. Opschoor, Nico Disch, Christoph Schwab,
Jakob Zech
- Abstract要約: DNNでは通常のsimplicial partitions $mathcalT$ of $Omega$の制限は不要である。
我々は、高階互換空間や他の非互換な離散化のクラスへの構成の一般化を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: On general regular simplicial partitions $\mathcal{T}$ of bounded polytopal
domains $\Omega \subset \mathbb{R}^d$, $d\in\{2,3\}$, we construct \emph{exact
neural network (NN) emulations} of all lowest order finite element spaces in
the discrete de Rham complex. These include the spaces of piecewise constant
functions, continuous piecewise linear (CPwL) functions, the classical
``Raviart-Thomas element'', and the ``N\'{e}d\'{e}lec edge element''. For all
but the CPwL case, our network architectures employ both ReLU (rectified linear
unit) and BiSU (binary step unit) activations to capture discontinuities. In
the important case of CPwL functions, we prove that it suffices to work with
pure ReLU nets. Our construction and DNN architecture generalizes previous
results in that no geometric restrictions on the regular simplicial partitions
$\mathcal{T}$ of $\Omega$ are required for DNN emulation. In addition, for CPwL
functions our DNN construction is valid in any dimension $d\geq 2$. Our
``FE-Nets'' are required in the variationally correct, structure-preserving
approximation of boundary value problems of electromagnetism in nonconvex
polyhedra $\Omega \subset \mathbb{R}^3$. They are thus an essential ingredient
in the application of e.g., the methodology of ``physics-informed NNs'' or
``deep Ritz methods'' to electromagnetic field simulation via deep learning
techniques. We indicate generalizations of our constructions to higher-order
compatible spaces and other, non-compatible classes of discretizations, in
particular the ``Crouzeix-Raviart'' elements and Hybridized, Higher Order (HHO)
methods.
- Abstract（参考訳）: 一般の正則な単純分割 $\mathcal{T}$ of bounded polytopal domain $\Omega \subset \mathbb{R}^d$, $d\in\{2,3\}$ では、離散ド・ラム複体内のすべての最下階有限要素空間に対して \emph{exact Neural Network (NN) emulations} を構築する。
これらには、ピースワイズ定数関数の空間、連続ピースワイズ線型(CPwL)関数、古典的な ``Raviart-Thomas element'' や ``N\'{e}d\'{e}lec edge element'' などが含まれる。
CPwLの場合を除いて、我々のネットワークアーキテクチャはReLU(修正線形単位)とBiSU(バイナリステップ単位)の両方のアクティベーションを用いて不連続を捕捉する。
CPwL関数の重要な場合において、純粋なReLUネットを扱うのに十分であることを示す。
我々の構成とDNNアーキテクチャは、DNNエミュレーションに必要となる通常のsimplicial partitions $\mathcal{T}$ of $\Omega$の幾何学的制限は不要であるとして、以前の結果を一般化する。
さらに、CPwL 関数に対しては、DNN の構成は任意の次元 $d\geq 2$ で有効である。
fe-nets'' は、非凸ポリヘドラ $\omega \subset \mathbb{r}^3$ における電磁気学の境界値問題の変分的正しい構造保存近似に必要である。
したがって、例えば ‘physics-informed nns'' や ‘deep ritz method' の方法論を深層学習技術による電磁場シミュレーションに適用する上で必須の要素である。
我々は、高階互換空間や他の非互換離散化クラス、特に ‘crouzeix-raviart'' 要素とハイブリダライズされた高階(hho)メソッドへの構成の一般化を示す。
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