論文の概要: Turnpike in optimal control of PDEs, ResNets, and beyond

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2202.04097v1
• Date: Tue, 8 Feb 2022 19:02:11 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-02-10 15:48:06.210210
• Title: Turnpike in optimal control of PDEs, ResNets, and beyond
• Title（参考訳）: PDE、ResNet等の最適制御におけるターンパイク
• Authors: Borjan Geshkovski and Enrique Zuazua
• Abstract要約: 現代のマクロ経済学におけるエンフターンパイクの性質は、経済プランナーが一つの資本レベルから別の資本レベルに経済を移そうとするなら、プランナーが十分な時間を持っている限り、最も効率的な経路は、ストックを最適な定常経路または一定経路に近いレベルに素早く移動させることであると主張している。 資源配分戦略としての性質から、ここ10年の間、ターンパイクの性質は、力学で生じる偏微分方程式のいくつかのクラスに保たれていることが示されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The \emph{turnpike property} in contemporary macroeconomics asserts that if an economic planner seeks to move an economy from one level of capital to another, then the most efficient path, as long as the planner has enough time, is to rapidly move stock to a level close to the optimal stationary or constant path, then allow for capital to develop along that path until the desired term is nearly reached, at which point the stock ought to be moved to the final target. Motivated in part by its nature as a resource allocation strategy, over the past decade, the turnpike property has also been shown to hold for several classes of partial differential equations arising in mechanics. When formalized mathematically, the turnpike theory corroborates the insights from economics: for an optimal control problem set in a finite-time horizon, optimal controls and corresponding states, are close (often exponentially), during most of the time, except near the initial and final time, to the optimal control and corresponding state for the associated stationary optimal control problem. In particular, the former are mostly constant over time. This fact provides a rigorous meaning to the asymptotic simplification that some optimal control problems appear to enjoy over long time intervals, allowing the consideration of the corresponding stationary problem for computing and applications. We review a slice of the theory developed over the past decade --the controllability of the underlying system is an important ingredient, and can even be used to devise simple turnpike-like strategies which are nearly optimal--, and present several novel applications, including, among many others, the characterization of Hamilton-Jacobi-Bellman asymptotics, and stability estimates in deep learning via residual neural networks.
• Abstract（参考訳）: 現代のマクロ経済学における \emph{turnpike property} は、経済プランナーが経済をある資本のレベルから別のレベルへ移動しようとすると、プランナーが十分な時間を持っている限り、最も効率的な経路は、最適な定常経路や一定経路に近いレベルに急速に在庫を移動させ、望ましい期間が近づくまでその経路に沿って資本が発展し、その時点で在庫を最終目標に移動させるべきであると主張する。 資源配分戦略としての性質に動機づけられ、過去10年間にわたって、ターンパイクの性質は力学で生じる偏微分方程式のいくつかのクラスにも保持されていることが示されている。 ターンパイク理論は、数学的に定式化されたとき、経済学からの洞察を裏付ける: 有限時間地平線に設定された最適制御問題に対して、最適制御と対応する状態は、ほとんどの時間において、初期時と最終時の間、関連する定常最適制御問題の最適制御と対応する状態とに近接する(しばしば指数関数的に)。 特に、前者は時間とともにほぼ一定である。 この事実は、いくつかの最適制御問題が長い間隔で楽しむように見えるという漸近的な単純化に厳密な意味を与え、計算とアプリケーションに対する対応する定常問題を考慮できる。 我々は,過去10年間に開発された理論のスライスを概観する。基盤となるシステムの制御性は重要な要素であり,ほぼ最適に近い単純なターンパイクのような戦略を考案するためにも利用できる。また,ハミルトン・ヤコビ・ベルマン漸近性の特徴付けや,残留ニューラルネットワークによるディープラーニングにおける安定性推定など,いくつかの新しい応用例も紹介する。

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