論文の概要: The Schr\"odinger Bridge between Gaussian Measures has a Closed Form

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2202.05722v2
• Date: Fri, 31 Mar 2023 07:46:26 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-03 20:55:39.513482
• Title: The Schr\"odinger Bridge between Gaussian Measures has a Closed Form
• Title（参考訳）: ガウス測度の間のシュル=オディンガー橋は閉形式を持つ
• Authors: Charlotte Bunne, Ya-Ping Hsieh, Marco Cuturi, Andreas Krause
• Abstract要約: 我々は OT の動的定式化(Schr"odinger bridge (SB) 問題)に焦点を当てる。 本稿では,ガウス測度間のSBに対する閉形式表現について述べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 101.79851806388699
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: The static optimal transport $(\mathrm{OT})$ problem between Gaussians seeks to recover an optimal map, or more generally a coupling, to morph a Gaussian into another. It has been well studied and applied to a wide variety of tasks. Here we focus on the dynamic formulation of OT, also known as the Schr\"odinger bridge (SB) problem, which has recently seen a surge of interest in machine learning due to its connections with diffusion-based generative models. In contrast to the static setting, much less is known about the dynamic setting, even for Gaussian distributions. In this paper, we provide closed-form expressions for SBs between Gaussian measures. In contrast to the static Gaussian OT problem, which can be simply reduced to studying convex programs, our framework for solving SBs requires significantly more involved tools such as Riemannian geometry and generator theory. Notably, we establish that the solutions of SBs between Gaussian measures are themselves Gaussian processes with explicit mean and covariance kernels, and thus are readily amenable for many downstream applications such as generative modeling or interpolation. To demonstrate the utility, we devise a new method for modeling the evolution of single-cell genomics data and report significantly improved numerical stability compared to existing SB-based approaches.
• Abstract（参考訳）: ガウス間の静的な最適輸送$(\mathrm{OT})$問題は、ガウス写像を別のガウスに変形させる最適写像、あるいはより一般的にはカップリングを回復しようとする。 広く研究され、様々なタスクに応用されている。 本稿では,最近,拡散型生成モデルとの関係から機械学習への関心が高まっているschr\"odinger bridge (sb)問題としても知られるotの動的定式化に注目する。 静的な設定とは対照的に、ガウス分布においても動的設定についてはあまり知られていない。 本稿では,ガウス測度間のsbの閉形式表現を提案する。 凸プログラムの研究に簡単に還元できる静的ガウスOT問題とは対照的に、SBを解くためのフレームワークはリーマン幾何学やジェネレータ理論のような非常に複雑なツールを必要とする。 特に、ガウス測度間のSBの解は、それ自体が自明な平均および共分散核を持つガウス過程であり、生成的モデリングや補間のような多くの下流アプリケーションに容易に適用可能であることを証明している。 そこで本研究では,単細胞ゲノミクスデータの進化をモデル化する新しい手法を考案し,既存のsb法と比較して数値安定性が大幅に向上したことを報告する。

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