論文の概要: Covariance matrix preparation for quantum principal component analysis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2204.03495v1
- Date: Thu, 7 Apr 2022 15:11:42 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-04-08 14:04:19.348997
- Title: Covariance matrix preparation for quantum principal component analysis
- Title（参考訳）: 量子主成分分析のための共分散行列作成
- Authors: Max Hunter Gordon, M. Cerezo, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles
- Abstract要約: 主成分分析 (PCA) はデータ解析における次元還元法である。
密度行列の対角化に基づくPCAの量子アルゴリズムが定式化されている。
本手法は分子基底状態データセットに対して数値的に実装する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8258451067861933
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Principal component analysis (PCA) is a dimensionality reduction method in
data analysis that involves diagonalizing the covariance matrix of the dataset.
Recently, quantum algorithms have been formulated for PCA based on
diagonalizing a density matrix. These algorithms assume that the covariance
matrix can be encoded in a density matrix, but a concrete protocol for this
encoding has been lacking. Our work aims to address this gap. Assuming
amplitude encoding of the data, with the data given by the ensemble $\{p_i,|
\psi_i \rangle\}$, then one can easily prepare the ensemble average density
matrix $\overline{\rho} = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |$. We first
show that $\overline{\rho}$ is precisely the covariance matrix whenever the
dataset is centered. For quantum datasets, we exploit global phase symmetry to
argue that there always exists a centered dataset consistent with
$\overline{\rho}$, and hence $\overline{\rho}$ can always be interpreted as a
covariance matrix. This provides a simple means for preparing the covariance
matrix for arbitrary quantum datasets or centered classical datasets. For
uncentered classical datasets, our method is so-called "PCA without centering",
which we interpret as PCA on a symmetrized dataset. We argue that this closely
corresponds to standard PCA, and we derive equations and inequalities that
bound the deviation of the spectrum obtained with our method from that of
standard PCA. We numerically illustrate our method for the MNIST handwritten
digit dataset. We also argue that PCA on quantum datasets is natural and
meaningful, and we numerically implement our method for molecular ground-state
datasets.
- Abstract（参考訳）: 主成分分析 (principal component analysis, pca) は、データセットの共分散行列の対角化を伴うデータ解析における次元性低減法である。
近年,密度行列の対角化に基づくPCAの量子アルゴリズムが定式化されている。
これらのアルゴリズムは共分散行列を密度行列に符号化できると仮定するが、この符号化のための具体的なプロトコルは欠如している。
私たちの仕事は、このギャップに対処することを目的としています。
データの振幅符号化を仮定すると、アンサンブル $\{p_i,| \psi_i \rangle\}$ で与えられるデータは、アンサンブル平均密度行列 $\overline{\rho} = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |$ を簡単に作成できる。
まず、$\overline{\rho}$ はデータセットが中心であるときは常にちょうど共分散行列であることを示す。
量子データセットでは、大域的な位相対称性を利用して、常に$\overline{\rho}$と一致する中心的データセットが存在するので、$\overline{\rho}$は常に共分散行列として解釈できる。
これは任意の量子データセットや中心となる古典データセットの共分散行列を作成する単純な手段を提供する。
非中心型古典データセットの場合、この手法はいわゆる「中心化なしPCA」と呼ばれ、シンメトリズドデータセット上でPCAと解釈する。
我々は、これは標準PCAと密接に対応し、標準PCAから得られたスペクトルの偏差を束縛する方程式や不等式を導出する。
我々は,MNIST手書き桁データセットの数値的記述を行う。
また、量子データセット上のPCAは自然かつ有意義であり、分子基底状態データセットに対して数値的に実装する。
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