論文の概要: Partial Identifiability for Nonnegative Matrix Factorization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2206.08022v1
- Date: Thu, 16 Jun 2022 09:26:46 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-06-18 06:35:40.155287
- Title: Partial Identifiability for Nonnegative Matrix Factorization
- Title（参考訳）: 非負行列分解における部分識別可能性
- Authors: Nicolas Gillis, R\'obert Rajk\'o
- Abstract要約: 文学における中心的な研究テーマは、分解がユニークかつ特定可能な条件である。
本稿では、部分的識別可能性、すなわち$C$と$S$の列の部分集合の特異性に焦点を当てる。
C$ と $S$ のカラムの識別可能性を保証するために、部分的識別可能性の結果が順番にどのように使われるかを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 19.452837853622515
- License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
- Abstract: Given a nonnegative matrix factorization, $R$, and a factorization rank, $r$,
Exact nonnegative matrix factorization (Exact NMF) decomposes $R$ as the
product of two nonnegative matrices, $C$ and $S$ with $r$ columns, such as $R =
CS^\top$. A central research topic in the literature is the conditions under
which such a decomposition is unique/identifiable, up to trivial ambiguities.
In this paper, we focus on partial identifiability, that is, the uniqueness of
a subset of columns of $C$ and $S$. We start our investigations with the
data-based uniqueness (DBU) theorem from the chemometrics literature. The DBU
theorem analyzes all feasible solutions of Exact NMF, and relies on sparsity
conditions on $C$ and $S$. We provide a mathematically rigorous theorem of a
recently published restricted version of the DBU theorem, relying only on
simple sparsity and algebraic conditions: it applies to a particular solution
of Exact NMF (as opposed to all feasible solutions) and allows us to guarantee
the partial uniqueness of a single column of $C$ or $S$. Second, based on a
geometric interpretation of the restricted DBU theorem, we obtain a new partial
identifiability result. We prove it is stronger than the restricted DBU
theorem, given that a proper preprocessing on the Exact NMF is used. This
geometric interpretation also leads us to another partial identifiability
result in the case $r=3$. Third, we show how partial identifiability results
can be used sequentially to guarantee the identifiability of more columns of
$C$ and $S$. We illustrate these results on several examples, including one
from the chemometrics literature.
- Abstract（参考訳）: 非負行列因子分解 (non negative matrix factorization, $r$, and a factorization rank, $r$, exactly non negative matrix factorization (exact nmf) が与えられると、$r$ は二つの非負行列の積として分解され、$c$ と $s$ は$r$ で、例えば $r = cs^\top$ である。
文学における中心的な研究テーマは、そのような分解が一意かつ識別可能で、明快な曖昧さまである条件である。
本稿では、部分的識別可能性、すなわち$C$と$S$の列の部分集合の特異性に焦点を当てる。
ケミメトリの文献からデータに基づく一意性(DBU)の定理を導出する。
DBU定理は、Exact NMFのすべての実現可能な解を分析し、$C$と$S$の空間条件に依存する。
我々は、最近発表されたDBU定理の制限版に関する数学的に厳密な定理を提供し、単純な空間性や代数的条件にのみ依存する: Exact NMF の特定の解に適用し(すべての実現可能な解とは対照的に)、$C$ または $S$ の単一の列の部分的一意性を保証することができる。
第二に、制限付きDBU定理の幾何学的解釈に基づいて、新しい部分的識別可能性結果を得る。
我々は、Exact NMF 上の適切な前処理が使用されることを考えると、制限付き DBU 定理よりも強いことを証明している。
この幾何学的解釈はまた、$r=3$の場合の別の部分的識別可能性の結果をもたらす。
第3に、$c$と$s$のより多くの列の識別性を保証するために、部分的識別可能性結果が逐次的にどのように使われるかを示す。
ケモメトリクスの文献など,これらの結果をいくつかの例で紹介する。
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