論文の概要: An in-depth study of the power function $x^{q+2}$ over the finite field $\mathbb{F}_{q^2}$: the differential, boomerang, and Walsh spectra, with an application to coding theory

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.07710v3
• Date: Tue, 14 Jan 2025 14:09:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-01-15 13:24:43.786935
• Title: An in-depth study of the power function $x^{q+2}$ over the finite field $\mathbb{F}_{q^2}$: the differential, boomerang, and Walsh spectra, with an application to coding theory
• Title（参考訳）: 有限体上のパワー関数 $x^{q+2}$:微分、ブーメラン、ウォルシュスペクトルの詳細な研究と符号化理論への応用
• Authors: Sihem Mesnager, Huawei Wu,
• Abstract要約: 有限体 $mathbbF_q2$ は$q2$ 要素からなる。 まず、いくつかの重要な単純化を取り入れた電力関数 $f(x) = xq+2$ on $mathbbF_q2$ の微分スペクトルを決定する方法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 28.489574654566677
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• Abstract: Let $q = p^m$, where $p$ is an odd prime number and $m$ is a positive integer. In this paper, we examine the finite field $\mathbb{F}_{q^2}$, which consists of $q^2$ elements. We first present an alternative method to determine the differential spectrum of the power function $f(x) = x^{q+2}$ on $\mathbb{F}_{q^2}$, incorporating several key simplifications. This methodology provides a new proof of the results established by Man, Xia, Li, and Helleseth in Finite Fields and Their Applications 84 (2022), 102100, which not only completely determine the differential spectrum of $f$ but also facilitate the analysis of its boomerang uniformity. Specifically, we determine the boomerang uniformity of $f$ for the cases where $q \equiv 1$ or $3$ (mod $6$), with the exception of the scenario where $p = 5$ and $m$ is even. Furthermore, for $p = 3$, we investigate the value distribution of the Walsh spectrum of $f$, demonstrating that it takes on only four distinct values. Using this result, we derive the weight distribution of a ternary cyclic code with four Hamming weights. The article integrates refined mathematical techniques from algebraic number theory and the theory of finite fields, employing several ingredients, such as exponential sums, to explore the cryptographic analysis of functions over finite fields. They can be used to explore the differential/boomerang uniformity across a wider range of functions.
• Abstract（参考訳）: q = p^m$ とすると、$p$ は奇素数、$m$ は正の整数である。 本稿では、$q^2$要素からなる有限体 $\mathbb{F}_{q^2}$ について検討する。 まず、パワー関数 $f(x) = x^{q+2}$ の微分スペクトルを$\mathbb{F}_{q^2}$ で決定する別の方法を提案する。 この方法論は、Finite Fields and Their Applications 84 (2022), 102100においてMan, Xia, Li, and Hellesethによって確立された結果の新たな証明を提供する。 具体的には、$q \equiv 1$または$$$$(mod 6,$)の場合、$p = 5$と$m$が偶数となるシナリオを除いて、$f$のブーメラン均一性を決定する。 さらに、$p = 3$の場合、ウォルシュスペクトルの値分布を$f$で調べ、それが4つの異なる値のみを取ることを示す。 この結果から,ハミング重みが4つある3次巡回符号の重み分布を導出した。 この記事では、代数的数論と有限体の理論から洗練された数学的技法を統合し、指数和などのいくつかの材料を用いて、有限体上の関数の暗号解析を探索する。 それらはより広い範囲の関数にわたって微分/ボメランの均一性を探索するのに使うことができる。

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