論文の概要: From Monte Carlo to neural networks approximations of boundary value problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.01432v1
• Date: Sat, 3 Sep 2022 14:17:58 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-09-07 13:25:24.792683
• Title: From Monte Carlo to neural networks approximations of boundary value problems
• Title（参考訳）: モンテカルロからニューラルネットワークへの境界値問題の近似
• Authors: Lucian Beznea, Iulian Cimpean, Oana Lupascu-Stamate, Ionel Popescu, Arghir Zarnescu
• Abstract要約: ポアソン方程式の解はモンテカルロ法により超ノルムで数値的に近似できることを示す。 また、ランダムネットワークは、小さな近似誤差と次元の複雑さを高い確率で提供することを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper we study probabilistic and neural network approximations for solutions to Poisson equation subject to H\" older or $C^2$ data in general bounded domains of $\mathbb{R}^d$. We aim at two fundamental goals. The first, and the most important, we show that the solution to Poisson equation can be numerically approximated in the sup-norm by Monte Carlo methods based on a slight change of the walk on spheres algorithm. This provides estimates which are efficient with respect to the prescribed approximation error and without the curse of dimensionality. In addition, the overall number of samples does not not depend on the point at which the approximation is performed. As a second goal, we show that the obtained Monte Carlo solver renders ReLU deep neural network (DNN) solutions to Poisson problem, whose sizes depend at most polynomially in the dimension $d$ and in the desired error. In fact we show that the random DNN provides with high probability a small approximation error and low polynomial complexity in the dimension.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ポアソン方程式の解の確率的およびニューラルネットワーク近似,あるいは$\mathbb{R}^d$の一般有界領域における$C^2$のデータについて検討する。 私たちは2つの基本的な目標を目指しています。 第一に、最も重要なことは、ポアソン方程式の解が、ウォーキング・オン・スフィアズ・アルゴリズムのわずかな変化に基づいてモンテカルロ法によって超ノルムで数値的に近似できることである。 これにより、所定の近似誤差に対して効率的であり、次元の呪いを伴わない推定値が得られる。 さらに、全体のサンプル数は近似が実行される点に依存しない。 第2のゴールとして,得られたモンテカルロ解法が,最大多項式の大きさが$d$ 次元と所望の誤差で依存するポアソン問題に対して,relu deep neural network (dnn) 解をレンダリングすることを示した。 実際、ランダムDNNは、その次元における小さな近似誤差と低い多項式複雑性を高い確率で提供することを示す。

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