論文の概要: Solving Poisson Equations using Neural Walk-on-Spheres

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.03494v1
• Date: Wed, 5 Jun 2024 17:59:22 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-06 17:12:15.829469
• Title: Solving Poisson Equations using Neural Walk-on-Spheres
• Title（参考訳）: ニューラルウォーク・オン・スフェールを用いたポアソン方程式の解法
• Authors: Hong Chul Nam, Julius Berner, Anima Anandkumar,
• Abstract要約: 高次元ポアソン方程式の効率的な解法としてニューラルウォーク・オン・スフェース(NWoS)を提案する。 我々は,NWoSの精度,速度,計算コストにおける優位性を実証した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 80.1675792181381
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We propose Neural Walk-on-Spheres (NWoS), a novel neural PDE solver for the efficient solution of high-dimensional Poisson equations. Leveraging stochastic representations and Walk-on-Spheres methods, we develop novel losses for neural networks based on the recursive solution of Poisson equations on spheres inside the domain. The resulting method is highly parallelizable and does not require spatial gradients for the loss. We provide a comprehensive comparison against competing methods based on PINNs, the Deep Ritz method, and (backward) stochastic differential equations. In several challenging, high-dimensional numerical examples, we demonstrate the superiority of NWoS in accuracy, speed, and computational costs. Compared to commonly used PINNs, our approach can reduce memory usage and errors by orders of magnitude. Furthermore, we apply NWoS to problems in PDE-constrained optimization and molecular dynamics to show its efficiency in practical applications.
• Abstract（参考訳）: 高次元ポアソン方程式の効率的な解法としてニューラルウォーク・オン・スフェース(NWoS)を提案する。 確率的表現とウォーク・オン・スフェール法を利用して、領域内の球面上のポアソン方程式の再帰解に基づいて、ニューラルネットワークに新たな損失を生じさせる。 得られた手法は高い並列化が可能であり、損失に対して空間勾配を必要としない。 本稿では、PINN、Deep Ritz法、および(後方)確率微分方程式に基づく競合する手法とを総合的に比較する。 難解で高次元の数値的な例では、NWoSの精度、速度、計算コストの優位性を実証する。 一般的に使われているPINNと比較して、我々の手法はメモリ使用量やエラーを桁違いに削減することができる。 さらに,PDE制約最適化と分子動力学の問題に対してNWoSを適用し,その効率性を示す。

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