論文の概要: From Monte Carlo to neural networks approximations of boundary value problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.01432v2
• Date: Mon, 4 Dec 2023 17:51:53 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-06 02:01:04.881027
• Title: From Monte Carlo to neural networks approximations of boundary value problems
• Title（参考訳）: モンテカルロからニューラルネットワークへの境界値問題の近似
• Authors: Lucian Beznea, Iulian Cimpean, Oana Lupascu-Stamate, Ionel Popescu, Arghir Zarnescu
• Abstract要約: ポアソン方程式の解はモンテカルロ法により超ノルミーにおいて数値的に近似できることを示す。 また、得られたモンテカルロが構成的にレンダリングされることも示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper we study probabilistic and neural network approximations for solutions to Poisson equation subject to H\" older data in general bounded domains of $\mathbb{R}^d$. We aim at two fundamental goals. The first, and the most important, we show that the solution to Poisson equation can be numerically approximated in the sup-norm by Monte Carlo methods, { and that this can be done highly efficiently if we use a modified version} of the walk on spheres algorithm { as an acceleration method. This provides estimates which are efficient with respect to the prescribed approximation error and with polynomial complexity in the dimension and the reciprocal of the error.} {A crucial feature is that} the overall number of samples does not not depend on the point at which the approximation is performed. As a second goal, we show that the obtained Monte Carlo solver renders { in a constructive way} ReLU deep neural network (DNN) solutions to Poisson problem, whose sizes depend at most polynomialy in the dimension $d$ and in the desired error. In fact we show that the random DNN provides with high probability a small approximation error and low polynomial complexity in the dimension.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,h\"古いデータに従属するポアソン方程式の解の確率的およびニューラルネットワーク的近似を,$\mathbb{r}^d$ の一般有界領域で研究する。 私たちは2つの基本的な目標を目指しています。 第一、そして最も重要なことは、ポアソン方程式の解をモンテカルロ法によって超ノルムで数値的に近似することができ、加速法としてウォーク・オン・球面アルゴリズム { の修正バージョン} を用いると、これは高効率にできることを示すことである。 これにより、所定の近似誤差と、誤差の次元および逆数における多項式複雑性に対して効率的な推定値が得られる。 重要な特徴は、サンプルの全体数は近似が実行される点に依存しないということである。 第2のゴールとして,得られたモンテカルロ解法では,最大多項式長が$d$と所望の誤差に依存するポアソン問題に対して,relu deep neural network (dnn) 解を合成的にレンダリングする。 実際、ランダムDNNは、その次元における小さな近似誤差と低い多項式複雑性を高い確率で提供することを示す。

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