論文の概要: From Monte Carlo to neural networks approximations of boundary value problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.01432v3
• Date: Sat, 10 Aug 2024 04:55:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-14 01:29:38.994169
• Title: From Monte Carlo to neural networks approximations of boundary value problems
• Title（参考訳）: モンテカルロから境界値問題のニューラルネットワーク近似へ
• Authors: Lucian Beznea, Iulian Cimpean, Oana Lupascu-Stamate, Ionel Popescu, Arghir Zarnescu,
• Abstract要約: ポアソン方程式の解はモンテカルロ法により超ノルムで数値的に近似できることを示す。 また、得られたモンテカルロ解法は、ポアソン問題に対する建設的なReLUディープニューラルネットワーク(DNN)の解法を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this paper we study probabilistic and neural network approximations for solutions to Poisson equation subject to Holder data in general bounded domains of $\mathbb{R}^d$. We aim at two fundamental goals. The first, and the most important, we show that the solution to Poisson equation can be numerically approximated in the sup-norm by Monte Carlo methods, and that this can be done highly efficiently if we use a modified version of the walk on spheres algorithm as an acceleration method. This provides estimates which are efficient with respect to the prescribed approximation error and with polynomial complexity in the dimension and the reciprocal of the error. A crucial feature is that the overall number of samples does not not depend on the point at which the approximation is performed. As a second goal, we show that the obtained Monte Carlo solver renders in a constructive way ReLU deep neural network (DNN) solutions to Poisson problem, whose sizes depend at most polynomialy in the dimension $d$ and in the desired error. In fact we show that the random DNN provides with high probability a small approximation error and low polynomial complexity in the dimension.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ポアソン方程式の一般有界領域におけるホルダーデータに対する解の確率的およびニューラルネットワーク近似について検討する。 私たちは2つの基本的な目標を目指しています。 一つ目は、ポアソン方程式の解はモンテカルロ法によって超ノルムで数値的に近似できること、また、ウォーク・オン・スフィアズ・アルゴリズムの修正版を加速法として用いた場合、これを効率的に行うことができることである。 これにより、所定の近似誤差と、誤差の次元および逆数における多項式の複雑さに対して効率的な推定値が得られる。 重要な特徴は、サンプルの総数は近似が実行される点に依存しないことである。 第二の目的として、得られたモンテカルロ解法はポアソン問題に対して建設的な方法でReLUディープニューラルネットワーク(DNN)解を描画し、そのサイズは次元$d$と所望の誤差のほとんどの多項式に依存することを示した。 実際、ランダムDNNは、その次元における小さな近似誤差と低い多項式複雑性を高い確率で提供することを示す。

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