論文の概要: Solving Elliptic Problems with Singular Sources using Singularity
Splitting Deep Ritz Method
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.02931v1
- Date: Wed, 7 Sep 2022 04:55:44 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-09-08 13:19:32.750348
- Title: Solving Elliptic Problems with Singular Sources using Singularity
Splitting Deep Ritz Method
- Title(参考訳): Singularity Splitting Deep Ritz 法による特異音源による楕円問題の解法
- Authors: Tianhao Hu and Bangti Jin and Zhi Zhou
- Abstract要約: 可変係数と特異源を持つポアソン方程式に対するディープニューラルネットワークに基づく効率的な解法を開発した。
このクラスは、一般的な点源、線源、点-線の組み合わせをカバーしている。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 12.607017661312256
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
- Abstract: In this work, we develop an efficient solver based on deep neural networks
for the Poisson equation with variable coefficients and singular sources
expressed by the Dirac delta function $\delta(\mathbf{x})$. This class of
problems covers general point sources, line sources and point-line
combinations, and has a broad range of practical applications. The proposed
approach is based on decomposing the true solution into a singular part that is
known analytically using the fundamental solution of the Laplace equation and a
regular part that satisfies a suitable elliptic PDE with smoother sources, and
then solving for the regular part using the deep Ritz method. A path-following
strategy is suggested to select the penalty parameter for penalizing the
Dirichlet boundary condition. Extensive numerical experiments in two- and
multi-dimensional spaces with point sources, line sources or their combinations
are presented to illustrate the efficiency of the proposed approach, and a
comparative study with several existing approaches is also given, which shows
clearly its competitiveness for the specific class of problems. In addition, we
briefly discuss the error analysis of the approach.
- Abstract(参考訳): 本研究では,ディラックデルタ関数 $\delta(\mathbf{x})$ で表現される変数係数と特異元を持つポアソン方程式に対する,ディープニューラルネットワークに基づく効率的な解法を開発した。
このタイプの問題は、一般的な点源、線源、点-線の組み合わせを含み、幅広い実用的応用がある。
提案手法は,ラプラス方程式の基本解を用いて解析的に知られている特異部分と,より滑らかな音源で適切な楕円型pdeを満たす正則部分とに真の解を分解し,その正則部分に対してディープリッツ法を用いて解くことに基づく。
ディリクレ境界条件をペナルティ化するためのペナルティパラメータを選択するパスフォロー戦略を提案する。
点源,線源又はそれらの組合せを持つ2次元および多次元空間における大規模数値実験を行い,提案手法の効率性を示すとともに,既存のいくつかの手法との比較検討を行い,問題の特定のクラスに対する競合性を示す。
さらに,このアプローチの誤差解析について簡単に説明する。
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