論文の概要: A Deep Learning approach to Reduced Order Modelling of Parameter
Dependent Partial Differential Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.06183v1
- Date: Wed, 10 Mar 2021 17:01:42 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-03-11 14:38:52.803056
- Title: A Deep Learning approach to Reduced Order Modelling of Parameter
Dependent Partial Differential Equations
- Title（参考訳）: パラメータ依存偏微分方程式の減数次モデルに対する深層学習法
- Authors: Nicola R. Franco, Andrea Manzoni, Paolo Zunino
- Abstract要約: パラメーター対解写像の効率的な近似法として,Deep Neural Networks に基づく構築的アプローチを開発した。
特に, パラメタライズド・アドベクション拡散PDEについて検討し, 強輸送場の存在下で方法論を検証した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2148535041822524
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Within the framework of parameter dependent PDEs, we develop a constructive
approach based on Deep Neural Networks for the efficient approximation of the
parameter-to-solution map. The research is motivated by the limitations and
drawbacks of state-of-the-art algorithms, such as the Reduced Basis method,
when addressing problems that show a slow decay in the Kolmogorov n-width. Our
work is based on the use of deep autoencoders, which we employ for encoding and
decoding a high fidelity approximation of the solution manifold. In order to
fully exploit the approximation capabilities of neural networks, we consider a
nonlinear version of the Kolmogorov n-width over which we base the concept of a
minimal latent dimension. We show that this minimal dimension is intimately
related to the topological properties of the solution manifold, and we provide
some theoretical results with particular emphasis on second order elliptic
PDEs. Finally, we report numerical experiments where we compare the proposed
approach with classical POD-Galerkin reduced order models. In particular, we
consider parametrized advection-diffusion PDEs, and we test the methodology in
the presence of strong transport fields, singular terms and stochastic
coefficients.
- Abstract（参考訳）: パラメータ依存型PDEの枠組みの中で,パラメータ対解写像の効率的な近似のためのDeep Neural Networksに基づく構築的アプローチを開発する。
この研究は、コルモゴロフ n-width の遅い崩壊を示す問題に対処する際に、低基底法のような最先端アルゴリズムの限界と欠点に動機づけられている。
私たちの仕事は、解多様体の高い忠実度近似を符号化および復号するために使用する深いオートエンコーダの使用に基づいています。
ニューラルネットワークの近似能力を十分に活用するために、我々は最小潜在次元の概念を基礎とするコルモゴロフ n-幅の非線形バージョンを考える。
この最小次元は解多様体の位相的性質と密接に関連していることを示し、二階楕円型PDEに特に重点を置く理論的な結果を与える。
最後に,提案手法を従来のPOD-Galerkin還元順序モデルと比較した数値実験を報告する。
特に、パラメトリライズされた対流拡散PDEを検討し、強い輸送場、特異項、確率係数の存在下で方法論をテストします。
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