論文の概要: Solving Elliptic Problems with Singular Sources using Singularity
Splitting Deep Ritz Method
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.02931v2
- Date: Mon, 17 Apr 2023 06:50:25 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-19 00:14:35.103647
- Title: Solving Elliptic Problems with Singular Sources using Singularity
Splitting Deep Ritz Method
- Title（参考訳）: Singularity Splitting Deep Ritz 法による特異音源による楕円問題の解法
- Authors: Tianhao Hu and Bangti Jin and Zhi Zhou
- Abstract要約: 可変係数と特異源を持つ二階楕円型方程式に対するニューラルネットワークに基づく効率的な解法を開発した。
このクラスは、一般的な点源、線源、および点線源の組み合わせをカバーしている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.607017661312256
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
- Abstract: In this work, we develop an efficient solver based on neural networks for
second-order elliptic equations with variable coefficients and singular
sources. This class of problems covers general point sources, line sources and
the combination of point-line sources, and has a broad range of practical
applications. The proposed approach is based on decomposing the true solution
into a singular part that is known analytically using the fundamental solution
of the Laplace equation and a regular part that satisfies a suitable modified
elliptic PDE with a smoother source, and then solving for the regular part
using the deep Ritz method. A path-following strategy is suggested to select
the penalty parameter for enforcing the Dirichlet boundary condition. Extensive
numerical experiments in two- and multi-dimensional spaces with point sources,
line sources or their combinations are presented to illustrate the efficiency
of the proposed approach, and a comparative study with several existing
approaches based on neural networks is also given, which shows clearly its
competitiveness for the specific class of problems. In addition, we briefly
discuss the error analysis of the approach.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,変数係数と特異点を持つ二階楕円方程式のニューラルネットワークに基づく効率的な解法を開発した。
このクラスは、一般的な点源、線源、および点線源の組み合わせをカバーし、幅広い実用的応用がある。
提案手法は,ラプラス方程式の基本解を用いて解析的に知られている特異部分と,適切な修正楕円型pdeをより滑らかな源で満たした正則部分とに真の解を分解し,その正則部分に対してディープリッツ法を用いて解くことに基づく。
経路追従戦略はディリクレ境界条件を強制するペナルティパラメータを選択するために提案される。
提案手法の効率性を示すために,点源,線源,それらの組合せを用いた2次元空間および多次元空間における広範囲な数値実験を行い,ニューラルネットワークに基づく既存の手法との比較を行った。
さらに,このアプローチの誤差解析について簡単に説明する。
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