論文の概要: Tradeoffs between convergence rate and noise amplification for momentum-based accelerated optimization algorithms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.11920v3
• Date: Wed, 19 Jun 2024 05:26:12 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-22 11:31:36.858208
• Title: Tradeoffs between convergence rate and noise amplification for momentum-based accelerated optimization algorithms
• Title（参考訳）: 運動量に基づく加速度最適化アルゴリズムにおける収束率と雑音増幅のトレードオフ
• Authors: Hesameddin Mohammadi, Meisam Razaviyayn, Mihailo R. Jovanović,
• Abstract要約: モーメントに基づく1次最適化アルゴリズムについて検討し, 繰り返しが付加的な白色雑音を受ける場合について検討した。 強い凸2次問題に対しては、雑音増幅の定量化のために最適化変数における誤差の定常分散を用いる。 雑音増幅と定位時間のバランスをとるアルゴリズムの2つのパラメータ化ファミリを導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.669461942767098
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study momentum-based first-order optimization algorithms in which the iterations utilize information from the two previous steps and are subject to an additive white noise. This setup uses noise to account for uncertainty in either gradient evaluation or iteration updates, and it includes Polyak's heavy-ball and Nesterov's accelerated methods as special cases. For strongly convex quadratic problems, we use the steady-state variance of the error in the optimization variable to quantify noise amplification and identify fundamental stochastic performance tradeoffs. Our approach utilizes the Jury stability criterion to provide a novel geometric characterization of conditions for linear convergence, and it reveals the relation between the noise amplification and convergence rate as well as their dependence on the condition number and the constant algorithmic parameters. This geometric insight leads to simple alternative proofs of standard convergence results and allows us to establish ``uncertainty principle'' of strongly convex optimization: for the two-step momentum method with linear convergence rate, the lower bound on the product between the settling time and noise amplification scales quadratically with the condition number. Our analysis also identifies a key difference between the gradient and iterate noise models: while the amplification of gradient noise can be made arbitrarily small by sufficiently decelerating the algorithm, the best achievable variance for the iterate noise model increases linearly with the settling time in the decelerating regime. Finally, we introduce two parameterized families of algorithms that strike a balance between noise amplification and settling time while preserving order-wise Pareto optimality for both noise models.
• Abstract（参考訳）: モーメントに基づく1次最適化アルゴリズムについて検討し, 2つのステップからの情報を利用して, 付加的な白色雑音を呈する手法を提案する。 このセットアップではノイズを使用して勾配評価やイテレーション更新の不確かさを考慮し、PolyakのヘビーボールとNesterovのアクセラレーションメソッドを特別なケースとして含んでいる。 強い凸2次問題に対して、最適化変数における誤差の定常分散を用いて、雑音増幅の定量化と基本確率的性能トレードオフの同定を行う。 提案手法では, 線形収束条件の新たな幾何学的特徴付けとして, 雑音増幅と収束率の関係, 条件数と一定のアルゴリズムパラメータへの依存性を明らかにする。 この幾何学的洞察は、標準収束結果の単純な代替証明につながり、強い凸最適化の「不確かさ原理」を確立できる: 線形収束率を持つ2段階運動量法の場合、沈降時間と雑音増幅の間の積上の下界は条件数と2次的にスケールする。 アルゴリズムを十分に減速させることで、勾配雑音の増幅を任意に小さくすることができる一方で、反復雑音モデルに対する最も達成可能な分散は、減速状態における沈降時間とともに線形的に増加する。 最後に、ノイズ増幅と定置時間とのバランスを保ちながら、両方のノイズモデルに対する秩序度パレート最適性を保ちながら、2つのパラメータ化されたアルゴリズムの族を導入する。

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