論文の概要: Deep Invertible Approximation of Topologically Rich Maps between Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.00577v1
• Date: Sun, 2 Oct 2022 17:14:43 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-04 17:29:12.150103
• Title: Deep Invertible Approximation of Topologically Rich Maps between Manifolds
• Title（参考訳）: 多様体間の位相リッチ写像の深い可逆近似
• Authors: Michael Puthawala, Matti Lassas, Ivan Dokmanic, Pekka Pankka, Maarten de Hoop
• Abstract要約: 位相的に興味深い多様体間の写像を安定に近似できるニューラルネットワークの設計法を示す。 局所ビリプシッツ写像、被覆空間、局所同相写像の間の位相的平行性を利用して、$mathcalT circ p circ MathcalE$ という形の新しいネットワークが局所微分同相の普遍近似器であることが分かる。 また、分子の分子イメージングを対称性で処理するためのアーキテクチャの拡張の可能性についても概説する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.60434807901964
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: How can we design neural networks that allow for stable universal approximation of maps between topologically interesting manifolds? The answer is with a coordinate projection. Neural networks based on topological data analysis (TDA) use tools such as persistent homology to learn topological signatures of data and stabilize training but may not be universal approximators or have stable inverses. Other architectures universally approximate data distributions on submanifolds but only when the latter are given by a single chart, making them unable to learn maps that change topology. By exploiting the topological parallels between locally bilipschitz maps, covering spaces, and local homeomorphisms, and by using universal approximation arguments from machine learning, we find that a novel network of the form $\mathcal{T} \circ p \circ \mathcal{E}$, where $\mathcal{E}$ is an injective network, $p$ a fixed coordinate projection, and $\mathcal{T}$ a bijective network, is a universal approximator of local diffeomorphisms between compact smooth submanifolds embedded in $\mathbb{R}^n$. We emphasize the case when the target map changes topology. Further, we find that by constraining the projection $p$, multivalued inversions of our networks can be computed without sacrificing universality. As an application, we show that learning a group invariant function with unknown group action naturally reduces to the question of learning local diffeomorphisms for finite groups. Our theory permits us to recover orbits of the group action. We also outline possible extensions of our architecture to address molecular imaging of molecules with symmetries. Finally, our analysis informs the choice of topologically expressive starting spaces in generative problems.
• Abstract（参考訳）: 位相的に興味深い多様体間の地図の安定な普遍近似を可能にするニューラルネットワークをどのように設計するか。 答えは座標射影である。 トポロジカルデータ分析(TDA)に基づくニューラルネットワークは、永続ホモロジーのようなツールを使用してデータのトポロジカルシグネチャを学習し、トレーニングを安定化するが、普遍的な近似子ではないかもしれない。 他のアーキテクチャでは、部分多様体上のデータ分布を普遍的に近似するが、後者が単一のチャートによって与えられるときのみ、トポロジーを変更するマップを学べなくなる。 By exploiting the topological parallels between locally bilipschitz maps, covering spaces, and local homeomorphisms, and by using universal approximation arguments from machine learning, we find that a novel network of the form $\mathcal{T} \circ p \circ \mathcal{E}$, where $\mathcal{E}$ is an injective network, $p$ a fixed coordinate projection, and $\mathcal{T}$ a bijective network, is a universal approximator of local diffeomorphisms between compact smooth submanifolds embedded in $\mathbb{R}^n$. ターゲットマップがトポロジを変える場合のケースを強調します。 さらに、プロジェクション$p$を制約することにより、ネットワークの多値反転を普遍性を犠牲にすることなく計算できることが分かる。 応用として、未知群作用を持つ群不変関数の学習は、有限群に対する局所微分同相を学習する問題に自然に還元されることを示す。 我々の理論は、群作用の軌道を回復することを許している。 また, 対称性を有する分子の分子イメージングへの拡張の可能性についても概説する。 最後に,本解析は,生成問題における位相表現開始空間の選択を知らせる。

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