論文の概要: Bound states of weakly deformed soft waveguides

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.01989v1
• Date: Thu, 3 Nov 2022 16:56:39 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-20 11:44:32.155252
• Title: Bound states of weakly deformed soft waveguides
• Title（参考訳）: 弱変形軟導波路の境界状態
• Authors: Pavel Exner, Sylwia Kondej, Vladimir Lotoreichik
• Abstract要約: 我々は、非有界帯状領域の特性関数の倍である魅力的なポテンシャルを持つ2次元シュル「オーディンガー作用素を考える。 臨界場合 $int_mathbbR f,mathsfd x = 0$ では、十分小さな $varepsilon > 0$ に対して一意な有界状態が存在するという条件を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper we consider the two-dimensional Schr\"odinger operator with an attractive potential which is a multiple of the characteristic function of an unbounded strip-shaped region, whose thickness is varying and is determined by the function $\mathbb{R}\ni x \mapsto d+\varepsilon f(x)$, where $d > 0$ is a constant, $\varepsilon > 0$ is a small parameter, and $f$ is a compactly supported continuous function. We prove that if $\int_{\mathbb{R}} f \,\mathsf{d} x > 0$, then the respective Schr\"odinger operator has a unique simple eigenvalue below the threshold of the essential spectrum for all sufficiently small $\varepsilon >0$ and we obtain the asymptotic expansion of this eigenvalue in the regime $\varepsilon\rightarrow 0$. An asymptotic expansion of the respective eigenfunction as $\varepsilon\rightarrow 0$ is also obtained. In the case that $\int_{\mathbb{R}} f \,\mathsf{d} x < 0$ we prove that the discrete spectrum is empty for all sufficiently small $\varepsilon > 0$. In the critical case $\int_{\mathbb{R}} f \,\mathsf{d} x = 0$, we derive a sufficient condition for the existence of a unique bound state for all sufficiently small $\varepsilon > 0$.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,非有界ストリップ状領域の特性関数の倍数である2次元schr\"odinger演算子について,その厚みが変化し,$d > 0$ が定数,$\varepsilon > 0$ が小パラメータ,$f$ がコンパクトに支持された連続関数であるような関数 $\mathbb{r}\ni x \mapsto d+\varepsilon f(x)$ によって決定される,魅力的なポテンシャルを持つ2次元schr\"odinger operator を考える。 我々は、もし $\int_{\mathbb{R}} f \,\mathsf{d} x > 0$ であるなら、それぞれのシュリンガー作用素は、十分小さな$\varepsilon > 0$ に対して必須スペクトルのしきい値より下にある一意の単純固有値を持ち、この固有値の漸近展開を、体制 $\varepsilon\rightarrow 0$ で得られることを証明している。 各々の固有関数の漸近展開である $\varepsilon\rightarrow 0$ も得られる。 例えば、$\int_{\mathbb{R}} f \,\mathsf{d} x < 0$ の場合、離散スペクトルが十分小さいすべての$\varepsilon > 0$に対して空であることを示す。 臨界ケース $\int_{\mathbb{r}} f \,\mathsf{d} x = 0$ において、十分小さい$\varepsilon > 0$ に対して一意な境界状態が存在するための十分条件を導出する。

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