論文の概要: Sparsifying Suprema of Gaussian Processes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.14664v1
• Date: Fri, 22 Nov 2024 01:43:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-25 15:03:35.241606
• Title: Sparsifying Suprema of Gaussian Processes
• Title（参考訳）: ガウス過程のスパース化サプリマ
• Authors: Anindya De, Shivam Nadimpalli, Ryan O'Donnell, Rocco A. Servedio,
• Abstract要約: 我々は、$O_varepsilon(1)$-size subset $S subseteq T$ と、S$ における実値 $c_s_s の集合が存在することを示す。 また、中心となるガウス過程の過度にスペーシフィケーション結果を用いて、有界な幾何学的幅の凸集合に対するスペーシフィケーション補題を与える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.638504164134713
• License:
• Abstract: We give a dimension-independent sparsification result for suprema of centered Gaussian processes: Let $T$ be any (possibly infinite) bounded set of vectors in $\mathbb{R}^n$, and let $\{{\boldsymbol{X}}_t\}_{t\in T}$ be the canonical Gaussian process on $T$. We show that there is an $O_\varepsilon(1)$-size subset $S \subseteq T$ and a set of real values $\{c_s\}_{s \in S}$ such that $\sup_{s \in S} \{{\boldsymbol{X}}_s + c_s\}$ is an $\varepsilon$-approximator of $\sup_{t \in T} {\boldsymbol{X}}_t$. Notably, the size of $S$ is completely independent of both the size of $T$ and of the ambient dimension $n$. We use this to show that every norm is essentially a junta when viewed as a function over Gaussian space: Given any norm $\nu(x)$ on $\mathbb{R}^n$, there is another norm $\psi(x)$ which depends only on the projection of $x$ along $O_\varepsilon(1)$ directions, for which $\psi({\boldsymbol{g}})$ is a multiplicative $(1 \pm \varepsilon)$-approximation of $\nu({\boldsymbol{g}})$ with probability $1-\varepsilon$ for ${\boldsymbol{g}} \sim N(0,I_n)$. We also use our sparsification result for suprema of centered Gaussian processes to give a sparsification lemma for convex sets of bounded geometric width: Any intersection of (possibly infinitely many) halfspaces in $\mathbb{R}^n$ that are at distance $O(1)$ from the origin is $\varepsilon$-close, under $N(0,I_n)$, to an intersection of only $O_\varepsilon(1)$ many halfspaces. We describe applications to agnostic learning and tolerant property testing.
• Abstract（参考訳）: T$ を $\mathbb{R}^n$ 上の任意の(おそらく無限)有界なベクトル集合とし、$\{{\boldsymbol{X}}_t\}_{t\in T} を $T$ 上の正準ガウス過程とする。 O_\varepsilon(1)$-size subset $S \subseteq T$ と実値の集合 $\{c_s\}_{s \in S}$ が存在して、$\sup_{s \in S} \{{\boldsymbol{X}}_s + c_s\}$ が $\varepsilon$-approximator of $\sup_{t \in T} {\boldsymbol{X}}_t$ であることを示す。 特に、$S$のサイズは、$T$と周囲次元$n$の両方から完全に独立である。 任意のノルム $\nu(x)$ on $\mathbb{R}^n$ が与えられたとき、他のノルム $\psi(x)$ は$x$ along $O_\varepsilon(1)$ の射影にのみ依存し、$\psi({\boldsymbol{g}})$ は乗法 $(1 \pm \varepsilon)$-approximation of $\nu({\boldsymbol{g}})$-\varepsilon$ for ${\boldsymbol{g}} \sim N(0,I_n$)$ である。 有界な幾何幅の凸集合に対するスパーシフィケーション補題を与えるために、中心ガウス過程の過大化結果も使用します:$\mathbb{R}^n$ の(おそらく無限に多くの)半空間の交叉は、原点から$O(1)$で、$N(0,I_n)$ の下では$\varepsilon$-close であり、$O_\varepsilon(1)$ の交叉のみとなる。 本稿では,非依存的学習と寛容なプロパティテストへの応用について述べる。

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