論文の概要: A Deep Double Ritz Method for solving Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.03627v1
• Date: Mon, 7 Nov 2022 15:34:07 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-08 19:24:34.998874
• Title: A Deep Double Ritz Method for solving Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 偏微分方程式を解くためのディープダブルリッツ法
• Authors: Carlos Uriarte and David Pardo and Ignacio Muga and Judit Mu\~noz-Matute
• Abstract要約: 残留最小化(Residual Minimization)は、偏微分方程式を変分形式で解くために広く用いられる手法である。 これは残差の双対ノルムを最小化し、これはいわゆる試行空間とテスト空間に対して自然にサドル点 (min-max) 問題をもたらす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5161531917413708
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Residual minimization is a widely used technique for solving Partial Differential Equations in variational form. It minimizes the dual norm of the residual, which naturally yields a saddle-point (min-max) problem over the so-called trial and test spaces. Such min-max problem is highly non-linear, and traditional methods often employ different mixed formulations to approximate it. Alternatively, it is possible to address the above saddle-point problem by employing Adversarial Neural Networks: one network approximates the global trial minimum, while another network seeks the test maximizer. However, this approach is numerically unstable due to a lack of continuity of the text maximizers with respect to the trial functions as we approach the exact solution. To overcome this, we reformulate the residual minimization as an equivalent minimization of a Ritz functional fed by optimal test functions computed from another Ritz functional minimization. The resulting Deep Double Ritz Method combines two Neural Networks for approximating the trial and optimal test functions. Numerical results on several 1D diffusion and convection problems support the robustness of our method up to the approximability and trainability capacity of the networks and the optimizer.
• Abstract（参考訳）: 残留最小化は偏微分方程式を変分形式で解くために広く用いられる手法である。 これは残差の双対ノルムを最小化し、いわゆる試行空間とテスト空間に対して自然にサドル点(min-max)問題を生じる。 このような min-max 問題は非常に非線型であり、伝統的な方法はしばしばそれを近似するために異なる混合定式化を用いる。 あるいは、あるネットワークがグローバルトライアル最小値に近似し、別のネットワークがテスト最大値を求める場合、逆ニューラルネットワークを用いることで、上記のサドルポイント問題に対処することが可能である。 しかし,本手法は,厳密解に接近する試行関数に関して,テキスト最大化器の連続性が欠如しているため,数値的に不安定である。 これを解決するために、残差最小化を、他のリッツ函数最小化から計算された最適テスト関数によって与えられるリッツ函数の等価最小化として再構成する。 結果のDeep Double Ritz Methodは、2つのニューラルネットワークを組み合わせて試行錯誤と最適なテスト関数を近似する。 複数の1次元拡散対流問題の数値計算により,ネットワークとオプティマイザの近似性とトレーニング可能性まで,我々の手法の堅牢性を支持する。

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