論文の概要: A neural network approach for solving the Monge-Ampère equation with transport boundary condition
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.19496v1
- Date: Fri, 25 Oct 2024 11:54:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-28 13:36:06.683437
- Title: A neural network approach for solving the Monge-Ampère equation with transport boundary condition
- Title（参考訳）: 輸送境界条件を持つモンジェ・アンペール方程式のニューラルネットワークによる解法
- Authors: Roel Hacking, Lisa Kusch, Koondanibha Mitra, Martijn Anthonissen, Wilbert IJzerman,
- Abstract要約: 本稿では,輸送境界条件でモンジュ・アンペア方程式を解くためのニューラルネットワークに基づく新しい手法を提案する。
我々は、方程式の残差、境界条件、凸性制約を含む損失関数を最小化することにより、多層パーセプトロンネットワークを利用して近似解を学習する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License:
- Abstract: This paper introduces a novel neural network-based approach to solving the Monge-Amp\`ere equation with the transport boundary condition, specifically targeted towards optical design applications. We leverage multilayer perceptron networks to learn approximate solutions by minimizing a loss function that encompasses the equation's residual, boundary conditions, and convexity constraints. Our main results demonstrate the efficacy of this method, optimized using L-BFGS, through a series of test cases encompassing symmetric and asymmetric circle-to-circle, square-to-circle, and circle-to-flower reflector mapping problems. Comparative analysis with a conventional least-squares finite-difference solver reveals the competitive, and often superior, performance of our neural network approach on the test cases examined here. A comprehensive hyperparameter study further illuminates the impact of factors such as sampling density, network architecture, and optimization algorithm. While promising, further investigation is needed to verify the method's robustness for more complicated problems and to ensure consistent convergence. Nonetheless, the simplicity and adaptability of this neural network-based approach position it as a compelling alternative to specialized partial differential equation solvers.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,光設計用途に特化して,輸送境界条件を用いたモンジュ・アンプ・エル方程式の解法を提案する。
我々は、方程式の残差、境界条件、凸性制約を含む損失関数を最小化することにより、多層パーセプトロンネットワークを利用して近似解を学習する。
L-BFGSを用いて最適化した本手法の有効性を, 対称および非対称円周円, 正方円, 円-円-円, 円-円-円リフレクタマッピング問題を含む一連のテストケースを用いて実証した。
従来の最小二乗有限差分解器との比較分析により, ニューラルネットワークを用いた実験事例における性能の競争力, 性能の両立が明らかとなった。
包括的ハイパーパラメーター研究はサンプリング密度、ネットワークアーキテクチャ、最適化アルゴリズムなどの要因の影響をさらに照らしている。
将来性はあるものの、より複雑な問題に対する手法の堅牢性を検証し、一貫した収束を保証するためにはさらなる調査が必要である。
それでも、このニューラルネットワークベースのアプローチの単純さと適応性は、特殊偏微分方程式解法に対する魅力的な代替品として位置づけられている。
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