論文の概要: Asymptotic and catalytic matrix majorization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.07353v1
- Date: Wed, 18 Jan 2023 07:52:19 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-19 16:36:53.067653
- Title: Asymptotic and catalytic matrix majorization
- Title（参考訳）: 漸近的および触媒的マトリックスの偏化
- Authors: Muhammad Usman Farooq and Tobias Fritz and Erkka Haapasalo and Marco
Tomamichel
- Abstract要約: ある単調音が発散点間で厳密に順序付けられている場合、十分に大きな$n$に対して、各入力分布の$n$コピーを対応する出力分布の$n$コピーに取る行列が存在することを示す。
また、入力分布の1つのコピーを対応する出力分布にほぼ変換するマップを、返却しない触媒の助けを借りて生成する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.75682270077567
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The matrix majorization problem asks, given two tuples of probability
vectors, whether there exists a single stochastic matrix transforming one tuple
into the other. Solving an open problem due to Mu et al, we show that if
certain monotones - namely multivariate extensions of Renyi divergences - are
strictly ordered between the two tuples, then for sufficiently large $n$, there
exists a stochastic matrix taking $n$ copies of each input distribution to $n$
copies of the corresponding output distribution. The same conditions, with
non-strict ordering for the monotones, are also necessary for such asymptotic
matrix majorization.
Our result also yields a map that approximately converts a single copy of
each input distribution to the corresponding output distribution with the help
of a catalyst that is returned unchanged. Allowing for transformation with
arbitrarily small error, we find conditions that are both necessary and
sufficient for such catalytic matrix majorization.
We derive our results by building on a general algebraic theory of preordered
semirings recently developed by one of the authors. This also allows us to
recover various existing results on asymptotic and catalytic majorization as
well as relative majorization in a unified manner.
- Abstract（参考訳）: 行列の偏化問題は、確率ベクトルの2つのタプルが与えられたとき、一方のタプルを他方に変換する1つの確率行列が存在するかどうかを問う。
Mu と al による開問題を解くと、ある単調(すなわち Renyi divergences の多変量拡大)が2つのタプルの間で厳密に順序付けられている場合、十分に大きな$n$に対して、各入力分布の$n$コピーを対応する出力分布の$n$コピーに取る確率行列が存在することを示す。
モノトンに対する非制限順序を持つ同じ条件は、そのような漸近行列のメジャー化にも必要である。
この結果、各入力分布の1つのコピーを、変化しない触媒の助けを借りて対応する出力分布に大まかに変換するマップも得られる。
任意の誤差で変換が可能であると、そのような触媒行列の偏化に必要かつ十分である条件が見つかる。
著者の1人が最近開発した事前順序付き半環の一般代数的理論に基づいて、その結果を導出する。
これにより、漸近的および触媒的偏化に関する様々な既存の結果と相対的偏化を統一的に回収することができる。
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