論文の概要: Matrix majorization in large samples
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.07353v2
- Date: Mon, 8 Jan 2024 08:55:33 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-10 00:22:53.377804
- Title: Matrix majorization in large samples
- Title（参考訳）: 大規模試料における行列のメジャー化
- Authors: Muhammad Usman Farooq and Tobias Fritz and Erkka Haapasalo and Marco
Tomamichel
- Abstract要約: あるモノトンが2つの間に厳密に順序づけられている場合、入力分布の$n$fold Kroneckerパワーを出力分布の$n$foldパワーに取る行列が存在することを示す。
このような触媒マトリックスの偏極化に必要かつ十分な条件が見つかる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.421843976231372
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: One tuple of probability vectors is more informative than another tuple when
there exists a single stochastic matrix transforming the probability vectors of
the first tuple into the probability vectors of the other. This is called
matrix majorization. Solving an open problem raised by Mu et al, we show that
if certain monotones - namely multivariate extensions of R\'{e}nyi divergences
- are strictly ordered between the two tuples, then for sufficiently large $n$,
there exists a stochastic matrix taking the $n$-fold Kronecker power of each
input distribution to the $n$-fold Kronecker power of the corresponding output
distribution. The same conditions, with non-strict ordering for the monotones,
are also necessary for such matrix majorization in large samples.
Our result also gives conditions for the existence of a sequence of
statistical maps that asymptotically (with vanishing error) convert a single
copy of each input distribution to the corresponding output distribution with
the help of a catalyst that is returned unchanged. Allowing for transformation
with arbitrarily small error, we find conditions that are both necessary and
sufficient for such catalytic matrix majorization.
We derive our results by building on a general algebraic theory of preordered
semirings recently developed by one of the authors. This also allows us to
recover various existing results on majorization in large samples and in the
catalytic regime as well as relative majorization in a unified manner.
- Abstract（参考訳）: 確率ベクトルの一方のタプルは、最初のタプルの確率ベクトルを他方の確率ベクトルに変換する単一の確率行列が存在するとき、他のタプルよりも有益である。
これを行列汎化と呼ぶ。
mu と al によって引き起こされた解法では、ある単調(すなわち r\'{e}nyi の発散の多変量拡大)が2つのタプルの間に厳密に順序付けされている場合、十分大きな n$ に対して、各入力分布の $n$-fold kronecker パワーを対応する出力分布の $n$-fold kronecker パワーに取る確率行列が存在する。
モノトンの非制限順序を持つ同じ条件は、大きなサンプルでそのような行列の偏極化にも必要である。
また, 入力分布の1つのコピーを対応する出力分布に変換し, 復帰しない触媒の助けを借りて, 漸近的に(誤差を無くした)統計マップの存在条件も提示した。
任意の誤差で変換が可能であると、そのような触媒行列の偏化に必要かつ十分である条件が見つかる。
著者の1人が最近開発した事前順序付き半環の一般代数的理論に基づいて、その結果を導出する。
また, 大規模試料, 触媒系において, および相対的偏化を統一的に行うことにより, 様々な既存結果の回収が可能となる。
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