論文の概要: A generic quantum Wielandt's inequality

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.08241v3
• Date: Thu, 25 Apr 2024 13:56:41 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-27 00:27:30.874391
• Title: A generic quantum Wielandt's inequality
• Title（参考訳）: 一般量子ウィーランドの不等式
• Authors: Yifan Jia, Angela Capel,
• Abstract要約: 一般に$k$は$mathcalO(n2)$の次数でなければならないと推測されている。 量子ウィーランドの不等式の一般的なバージョンを提供し、確率 1 で最適な長さを与える。 我々は、Projected Entangled Pair Stateの長年のオープンな問題に新たな光を当てた。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9975341265604578
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Quantum Wielandt's inequality gives an optimal upper bound on the minimal length $k$ such that length-$k$ products of elements in a generating system span $M_n(\mathbb{C})$. It is conjectured that $k$ should be of order $\mathcal{O}(n^2)$ in general. In this paper, we give an overview of how the question has been studied in the literature so far and its relation to a classical question in linear algebra, namely the length of the algebra $M_n(\mathbb{C})$. We provide a generic version of quantum Wielandt's inequality, which gives the optimal length with probability one. More specifically, we prove based on [KS16] that $k$ generically is of order $\Theta(\log n)$, as opposed to the general case, in which the best bound to date is $\mathcal O(n^2 \log n)$. Our result implies a new bound on the primitivity index of a random quantum channel. Furthermore, we shed new light on a long-standing open problem for Projected Entangled Pair State, by concluding that almost any translation-invariant PEPS (in particular, Matrix Product State) with periodic boundary conditions on a grid with side length of order $\Omega( \log n )$ is the unique ground state of a local Hamiltonian. We observe similar characteristics for matrix Lie algebras and provide numerical results for random Lie-generating systems.
• Abstract（参考訳）: 量子ウィランドの不等式は、生成系内の要素の積の長さ-k$が$M_n(\mathbb{C})$であるような最小長$k$の最適上限を与える。 一般に$k$は$\mathcal{O}(n^2)$の次数でなければならないと推測されている。 本稿では、これまでの文献で問題がどのように研究されてきたのか、また線型代数における古典的問題との関係、すなわち代数 $M_n(\mathbb{C})$ の長さについて概説する。 量子ウィーランドの不等式の一般的なバージョンを提供し、確率 1 で最適な長さを与える。 より具体的には、[KS16] に基づいて、$k$ が次数 $\Theta(\log n)$ であることを証明する。 この結果は、ランダムな量子チャネルのプライミティティ指数に新たなバウンダリを与えることを意味する。 さらに、プロジェクテッド・アンタングルド・ペア状態の長年の開問題に新たな光を当て、ほとんどすべての変換不変なPEPS(特に行列積状態)が、辺長が$\Omega( \log n )$ の格子上の周期的境界条件を持つことを結論付ける。 行列リー代数の同様の特性を観察し、ランダムリー生成系に対して数値的な結果を与える。

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