論文の概要: Efficient Sampling of Stochastic Differential Equations with Positive Semi-Definite Models

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.17109v1
• Date: Thu, 30 Mar 2023 02:50:49 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-31 14:45:19.675611
• Title: Efficient Sampling of Stochastic Differential Equations with Positive Semi-Definite Models
• Title（参考訳）: 正の半定値モデルによる確率微分方程式の効率的なサンプリング
• Authors: Anant Raj, Umut \c{S}im\c{s}ekli and Alessandro Rudi
• Abstract要約: 本稿では, ドリフト関数と拡散行列を考慮し, 微分方程式からの効率的なサンプリング問題を扱う。 精度$varepsilon$は$m2 d log (1/varepsilon)$で、$mはモデルの次元、$dは空間の次元である。 以上の結果から,真の解がより滑らかになるにつれて,どのような凸性も必要とせず,次元の呪いを回避できることが示唆された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 91.22420505636006
• License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
• Abstract: This paper deals with the problem of efficient sampling from a stochastic differential equation, given the drift function and the diffusion matrix. The proposed approach leverages a recent model for probabilities \citep{rudi2021psd} (the positive semi-definite -- PSD model) from which it is possible to obtain independent and identically distributed (i.i.d.) samples at precision $\varepsilon$ with a cost that is $m^2 d \log(1/\varepsilon)$ where $m$ is the dimension of the model, $d$ the dimension of the space. The proposed approach consists in: first, computing the PSD model that satisfies the Fokker-Planck equation (or its fractional variant) associated with the SDE, up to error $\varepsilon$, and then sampling from the resulting PSD model. Assuming some regularity of the Fokker-Planck solution (i.e. $\beta$-times differentiability plus some geometric condition on its zeros) We obtain an algorithm that: (a) in the preparatory phase obtains a PSD model with L2 distance $\varepsilon$ from the solution of the equation, with a model of dimension $m = \varepsilon^{-(d+1)/(\beta-2s)} (\log(1/\varepsilon))^{d+1}$ where $0<s\leq1$ is the fractional power to the Laplacian, and total computational complexity of $O(m^{3.5} \log(1/\varepsilon))$ and then (b) for Fokker-Planck equation, it is able to produce i.i.d.\ samples with error $\varepsilon$ in Wasserstein-1 distance, with a cost that is $O(d \varepsilon^{-2(d+1)/\beta-2} \log(1/\varepsilon)^{2d+3})$ per sample. This means that, if the probability associated with the SDE is somewhat regular, i.e. $\beta \geq 4d+2$, then the algorithm requires $O(\varepsilon^{-0.88} \log(1/\varepsilon)^{4.5d})$ in the preparatory phase, and $O(\varepsilon^{-1/2}\log(1/\varepsilon)^{2d+2})$ for each sample. Our results suggest that as the true solution gets smoother, we can circumvent the curse of dimensionality without requiring any sort of convexity.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,ドリフト関数と拡散行列を与えられた確率微分方程式からの効率的なサンプリングの問題を扱う。 提案手法では, 正の半定値-psdモデルである \citep{rudi2021psd} (正の半定値-psdモデル) の確率モデルを用いて, 独立かつ同一に分布する (i.i.d.) サンプルを, 精度で $m^2 d \log(1/\varepsilon)$ のコストで得ることができる。 まず、SDEに関連するフォッカー・プランク方程式(またはその分数変量)を満足するPSDモデルを計算し、エラー$\varepsilon$まで計算し、その結果のPSDモデルからサンプリングする。 Fokker-Planck 解の正則性 (例えば $\beta$-times differentiability と 0 上の幾何条件) を仮定すると、以下のアルゴリズムが得られる。 (a) 予備相において、方程式の解から L2 距離 $\varepsilon$ の PSD モデルを得るが、次元 $m = \varepsilon^{-(d+1)/(\beta-2s)} (\log(1/\varepsilon))^{d+1}$ ここで、0<s\leq1$ はラプラシアンの分数乗力であり、合計計算複雑性は$O(m^{3.5} \log(1/\varepsilon)$ となる。 (b)fokker-planck方程式では、サンプル毎に$o(d \varepsilon^{-2(d+1)/\beta-2} \log(1/\varepsilon)^{2d+3})$というコストで、waserstein-1距離の誤差$\varepsilon$のi.i.d.\サンプルを生成することができる。 これは、sde に付随する確率が幾分正則であれば、すなわち $\beta \geq 4d+2$ であるなら、各サンプルに対して $o(\varepsilon^{-0.88} \log(1/\varepsilon)^{4.5d})$ と $o(\varepsilon^{-1/2}\log(1/\varepsilon)^{2d+2}) が必要であることを意味する。 以上より, 真の解がより滑らかになるにつれて, 次元の呪いを回避できる可能性が示唆された。

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