論文の概要: Optimal Low-Rank Matrix Completion: Semidefinite Relaxations and Eigenvector Disjunctions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.12292v2
• Date: Fri, 26 Jan 2024 17:34:25 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-29 18:36:10.702511
• Title: Optimal Low-Rank Matrix Completion: Semidefinite Relaxations and Eigenvector Disjunctions
• Title（参考訳）: 最適低ランク行列補完:半有限緩和と固有ベクトル解法
• Authors: Dimitris Bertsimas, Ryan Cory-Wright, Sean Lo, and Jean Pauphilet
• Abstract要約: 低ランク行列の完備化は、与えられた観測セットをできるだけ正確に回復する最小の複雑さの行列からなる。 新たな凸緩和は、既存の方法に比べて最大値を大幅に下げる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.537257913467247
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Low-rank matrix completion consists of computing a matrix of minimal complexity that recovers a given set of observations as accurately as possible. Unfortunately, existing methods for matrix completion are heuristics that, while highly scalable and often identifying high-quality solutions, do not possess any optimality guarantees. We reexamine matrix completion with an optimality-oriented eye. We reformulate these low-rank problems as convex problems over the non-convex set of projection matrices and implement a disjunctive branch-and-bound scheme that solves them to certifiable optimality. Further, we derive a novel and often tight class of convex relaxations by decomposing a low-rank matrix as a sum of rank-one matrices and incentivizing that two-by-two minors in each rank-one matrix have determinant zero. In numerical experiments, our new convex relaxations decrease the optimality gap by two orders of magnitude compared to existing attempts, and our disjunctive branch-and-bound scheme solves nxn rank-r matrix completion problems to certifiable optimality in hours for n<=150 and r<=5.
• Abstract（参考訳）: 低ランク行列補完は、与えられた観測セットを可能な限り正確に回復する最小の複雑さの行列を演算する。 残念ながら、既存の行列補完法は、高度にスケーラブルでしばしば高品質な解を識別するが、最適性保証を持たないヒューリスティックである。 我々は最適性指向眼で行列補完を再検討する。 これらの低ランク問題を、射影行列の非凸集合上の凸問題として再構成し、それらを検証可能な最適性に導く連結分岐・束縛スキームを実装した。 さらに、次数 1 の行列の和として低階行列を分解し、次数 1 の行列の次数 2 のマイナーが決定式 0 であるようにインセンティブを与えることにより、新規でしばしば密接な凸緩和のクラスを導出する。 数値実験では,新しい凸緩和法は既存の試みと比較して2桁の最適性ギャップを減少させ,この解法により n<=150 と r<=5 の時間で nxn ランク-r 行列の完備化問題を解く。

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