論文の概要: On the Identification and Optimization of Nonsmooth Superposition Operators in Semilinear Elliptic PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.05185v2
• Date: Fri, 2 Feb 2024 16:37:31 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-02-05 20:16:32.115624
• Title: On the Identification and Optimization of Nonsmooth Superposition Operators in Semilinear Elliptic PDEs
• Title（参考訳）: 半線形楕円型PDEにおける非平滑重ね合わせ作用素の同定と最適化について
• Authors: Constantin Christof and Julia Kowalczyk
• Abstract要約: 原型半線形楕円偏微分方程式(PDE)の非線形部分におけるネミトスキー作用素の同定を目的とした無限次元最適化問題について検討する。 以前の研究とは対照的に、ネミトスキー作用素を誘導する関数が a-priori であることは、$H leakyloc(mathbbR)$ の要素であることが知られている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.045851438458641
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study an infinite-dimensional optimization problem that aims to identify the Nemytskii operator in the nonlinear part of a prototypical semilinear elliptic partial differential equation (PDE) which minimizes the distance between the PDE-solution and a given desired state. In contrast to previous works, we consider this identification problem in a low-regularity regime in which the function inducing the Nemytskii operator is a-priori only known to be an element of $H^1_{loc}(\mathbb{R})$. This makes the studied problem class a suitable point of departure for the rigorous analysis of training problems for learning-informed PDEs in which an unknown superposition operator is approximated by means of a neural network with nonsmooth activation functions (ReLU, leaky-ReLU, etc.). We establish that, despite the low regularity of the controls, it is possible to derive a classical stationarity system for local minimizers and to solve the considered problem by means of a gradient projection method. The convergence of the resulting algorithm is proven in the function space setting. It is also shown that the established first-order necessary optimality conditions imply that locally optimal superposition operators share various characteristic properties with commonly used activation functions: They are always sigmoidal, continuously differentiable away from the origin, and typically possess a distinct kink at zero. The paper concludes with numerical experiments which confirm the theoretical findings.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,pde解と与えられた所望の状態との間の距離を最小化する半線形楕円偏微分方程式(pde)の非線形部分におけるネミツキー作用素の同定を目的とした無限次元最適化問題について検討する。 以前の研究とは対照的に、ネミトスキー作用素を誘導する関数が a-プリオリであることは、$H^1_{loc}(\mathbb{R})$ の要素であることが知られている。 これにより、未知の重ね合わせ演算子を非平滑活性化機能を有するニューラルネットワーク(ReLU, leaky-ReLUなど)を用いて近似する学習インフォームドPDEの訓練問題を厳格に解析する上で、学習問題クラスを出発点として適当となる。 制御の規則性が低いにもかかわらず、局所最小化器の古典的定常性系を導出し、勾配投影法を用いて検討された問題を解くことができる。 結果のアルゴリズムの収束性は関数空間の設定で証明される。 また、確立された一階必要最適条件は、局所最適重ね合わせ演算子が、一般的に使用される活性化関数と様々な特性を共有していることを示している。 本論文は理論的知見を裏付ける数値実験によって結論づける。

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