論文の概要: The Spherical Grasshopper Problem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.05359v1
• Date: Sat, 8 Jul 2023 17:46:41 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-12 14:14:15.392809
• Title: The Spherical Grasshopper Problem
• Title（参考訳）: 球状グラスホッパー問題
• Authors: Boris van Breugel
• Abstract要約: このエッセイの目的は、単位球面上のグラスホッパー問題をよりよく理解することである。 芝生のホッパーが球体に着陸し、ランダムな方向に固定された距離をジャンプします。 グラッパーが同じ色に着陸する確率を最大化するために、どのように球体を色付けすべきか?
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.15229257192293202
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The aim of this essay is to better understand the Grasshopper Problem on the surface of the unit sphere. The problem is motivated by analysing Bell inequalities, but can be formulated as a geometric puzzle as follows. Given a white sphere and a bucket of black paint, one is asked to paint half of the sphere, such that antipodal pairs of points are oppositely coloured. A grasshopper lands on the sphere, and jumps a fixed distance in a random direction. How should the sphere be coloured such that the probability of the grasshopper landing on the same colour is maximized? Goulko and Kent have explored this problem on the plane without an antipodality constraint. This essay gives clear indication that the spherical problem with the antipodality constraint yields colourings with similar shapes as the planar problem does. This research has discretised the problem and used a simulated annealing algorithm to search for the optimal solution. Results are consistent with the planar results of \cite{goulkokent}. For $0.10\pi\leq\theta\leq0.44\pi$ cogwheel solutions are found to be optimal, with odd integer of cogs $n_o$ such that $n_o$ is close to $\frac{2\pi}{\theta}$. For $0.45\pi\leq\theta\leq 0.55\pi$ critical solutions are found, in which domains of identical colour decrease in size towards $0.5\pi$ (moving from either side). For $\theta\geq 0.55$ colourings are found consisting of stripes with cogs. Towards $\theta=\pi$ colourings are generated that display just stripes that scale in width with $\pi-\theta$.
• Abstract（参考訳）: この論文の目的は、単位球面上のグラスホッパー問題の理解を深めることである。 この問題はベルの不等式の解析によって動機づけられるが、次のような幾何学的パズルとして定式化することができる。 白い球面と黒いペンキのバケツが与えられると、球面の半分をペイントするよう求められ、対脚の対の点の対色が反対に色付けされる。 芝生のホッパーが球体に着陸し、ランダムな方向に固定された距離をジャンプします。 グラッパーが同じ色に着陸する確率を最大化するために、どのように球体を色付けすべきか? ゴルコとケントは、対足性制約のない平面上でこの問題を調査した。 このエッセイは、反ポジタリティ制約による球面問題は平面問題と同様の形状の彩色をもたらすという明確な示唆を与える。 本研究は, この問題を解明し, 最適解の探索にシミュレートされたアニールアルゴリズムを用いた。 結果は \cite{goulkokent} の平面結果と一致する。 0.10\pi\leq\theta\leq0.44\pi$ cogwheel solution が最適であることが判明し、cogs $n_o$ の奇数整数で $n_o$ が $\frac{2\pi}{\theta}$ に近い。 0.45\pi\leq\theta\leq 0.55\pi$ 臨界解は、同じ色の領域が0.5\pi$ まで小さくなる。 約$\theta\geq 0.55$の色は、コグのついたストライプで示される。 色は$\theta=\pi$で、幅は$\pi-\theta$で表示される。

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