論文の概要: Equivariance and partial observations in Koopman operator theory for partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.15325v3
• Date: Tue, 05 Nov 2024 10:39:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-06 14:55:44.871846
• Title: Equivariance and partial observations in Koopman operator theory for partial differential equations
• Title（参考訳）: 偏微分方程式に対するクープマン作用素論における等分散と部分観測
• Authors: Sebastian Peitz, Hans Harder, Feliks Nüske, Friedrich Philipp, Manuel Schaller, Karl Worthmann,
• Abstract要約: システム力学の対称性はクープマン作用素に受け継がれることを示す。 我々は、完全な状態を測定することができない非常に関連性の高いケースに対処する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.099532646524593
• License:
• Abstract: The Koopman operator has become an essential tool for data-driven analysis, prediction and control of complex systems. The main reason is the enormous potential of identifying linear function space representations of nonlinear dynamics from measurements. This equally applies to ordinary, stochastic, and partial differential equations (PDEs). Until now, with a few exceptions only, the PDE case is mostly treated rather superficially, and the specific structure of the underlying dynamics is largely ignored. In this paper, we show that symmetries in the system dynamics can be carried over to the Koopman operator, which allows us to significantly increase the model efficacy. Moreover, the situation where we only have access to partial observations (i.e., measurements, as is very common for experimental data) has not been treated to its full extent, either. Moreover, we address the highly-relevant case where we cannot measure the full state, where alternative approaches (e.g., delay coordinates) have to be considered. We derive rigorous statements on the required number of observables in this situation, based on embedding theory. We present numerical evidence using various numerical examples including the wave equation and the Kuramoto-Sivashinsky equation.
• Abstract（参考訳）: クープマン作用素は、複雑なシステムのデータ駆動分析、予測、制御に不可欠なツールとなっている。 主な理由は、測定から非線形力学の線型関数空間表現を同定する巨大なポテンシャルである。 これは普通、確率、偏微分方程式(PDE)にも等しく当てはまる。 これまで、いくつかの例外を除いて、PDEの場合はほとんどは表面的に扱われており、基礎となる力学の特定の構造は無視されている。 本稿では,システム力学の対称性をクープマン演算子に渡すことで,モデルの有効性を大幅に向上させることができることを示す。 さらに、部分的な観測(つまり、実験データに非常によく見られる測定)にしかアクセスできない状況も、その全範囲で扱われていない。 さらに,全状態を計測できない場合や,代替手法(例えば遅延座標)を検討する必要がある場合にも対処する。 我々は、埋め込み理論に基づいて、この状況における観測可能量の厳密な記述を導出する。 波動方程式や倉本-シヴァシンスキー方程式など,様々な数値例を用いて数値的な証拠を提示する。

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