論文の概要: Algebraic and Statistical Properties of the Ordinary Least Squares Interpolator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.15769v1
• Date: Wed, 27 Sep 2023 16:41:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-09-28 12:53:45.602520
• Title: Algebraic and Statistical Properties of the Ordinary Least Squares Interpolator
• Title（参考訳）: 普通最小方形補間器の代数的および統計的特性
• Authors: Dennis Shen, Dogyoon Song, Peng Ding and Jasjeet S. Sekhon
• Abstract要約: 我々は最小$ell$-norm OLS補間器について結果を提供する。 その結果、OLS補間器が一般化し、因果推論に実質的な意味を持つ能力を理解するのに役立ちます。 ガウス・マルコフモデルの下では、ガウス・マルコフの定理の高次元拡張のような統計的結果を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.749230667146314
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Deep learning research has uncovered the phenomenon of benign overfitting for over-parameterized statistical models, which has drawn significant theoretical interest in recent years. Given its simplicity and practicality, the ordinary least squares (OLS) interpolator has become essential to gain foundational insights into this phenomenon. While properties of OLS are well established in classical settings, its behavior in high-dimensional settings is less explored (unlike for ridge or lasso regression) though significant progress has been made of late. We contribute to this growing literature by providing fundamental algebraic and statistical results for the minimum $\ell_2$-norm OLS interpolator. In particular, we provide high-dimensional algebraic equivalents of (i) the leave-$k$-out residual formula, (ii) Cochran's formula, and (iii) the Frisch-Waugh-Lovell theorem. These results aid in understanding the OLS interpolator's ability to generalize and have substantive implications for causal inference. Additionally, under the Gauss-Markov model, we present statistical results such as a high-dimensional extension of the Gauss-Markov theorem and an analysis of variance estimation under homoskedastic errors. To substantiate our theoretical contributions, we conduct simulation studies that further explore the stochastic properties of the OLS interpolator.
• Abstract（参考訳）: 深層学習研究により、過度パラメータ化統計モデルに対する良性過剰適合現象が明らかにされ、近年は重要な理論的な関心を集めている。 その単純さと実用性を考えると、通常の最小二乗(ols)補間器は、この現象に関する基礎的な洞察を得るために必須である。 OLSの特性は古典的な設定ではよく確立されているが、高次元環境での挙動は(尾根やラッソレグレッションとは異なり)解明されていない。 我々は、最小$$\ell_2$-norm OLS補間子に対して代数的および統計的結果を提供することにより、この成長する文献に寄与する。 特に、我々は高次元代数的同値を与える。 (i)残余公式の残高-$k$-out (ii)コクランの公式、及び (iii) フリッシュ=ヴォー=ラヴエルの定理。 これらの結果は、OLS補間器の一般化能力の理解に役立ち、因果推論に実質的な意味を持つ。 さらに,gauss-markovモデルの下では,gauss-markov定理の高次元拡張やホモスケシュタスティック誤差下の分散推定の解析などの統計的結果を示す。 理論的な貢献を証明するために、我々はols補間器の確率的性質をさらに探究するシミュレーション研究を行う。

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