論文の概要: Parity vs. AC0 with simple quantum preprocessing

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.13679v2
• Date: Wed, 29 Nov 2023 21:04:47 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-01 22:58:51.648200
• Title: Parity vs. AC0 with simple quantum preprocessing
• Title（参考訳）: 単純量子前処理によるパリティ対AC0
• Authors: Joseph Slote
• Abstract要約: 我々は、$mathsfAC0$が$mathsfQNC0$回路の測定結果に作用するハイブリッド回路モデルについて検討する。 私たちは、$mathsfQNC0$が、タスクの検索とサンプリングに驚くほど強力なのに対して、その出力のグローバルな相関において、そのパワーは"ロックアウト"されていることに気付きました。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A recent line of work has shown the unconditional advantage of constant-depth quantum computation, or $\mathsf{QNC^0}$, over $\mathsf{NC^0}$, $\mathsf{AC^0}$, and related models of classical computation. Problems exhibiting this advantage include search and sampling tasks related to the parity function, and it is natural to ask whether $\mathsf{QNC^0}$ can be used to help compute parity itself. We study $\mathsf{AC^0\circ QNC^0}$ -- a hybrid circuit model where $\mathsf{AC^0}$ operates on measurement outcomes of a $\mathsf{QNC^0}$ circuit, and conjecture $\mathsf{AC^0\circ QNC^0}$ cannot achieve $\Omega(1)$ correlation with parity. As evidence for this conjecture, we prove: $\bullet$ When the $\mathsf{QNC^0}$ circuit is ancilla-free, this model achieves only negligible correlation with parity. $\bullet$ For the general (non-ancilla-free) case, we show via a connection to nonlocal games that the conjecture holds for any class of postprocessing functions that has approximate degree $o(n)$ and is closed under restrictions, even when the $\mathsf{QNC^0}$ circuit is given arbitrary quantum advice. By known results this confirms the conjecture for linear-size $\mathsf{AC^0}$ circuits. $\bullet$ Towards a switching lemma for $\mathsf{AC^0\circ QNC^0}$, we study the effect of quantum preprocessing on the decision tree complexity of Boolean functions. We find that from this perspective, nonlocal channels are no better than randomness: a Boolean function $f$ precomposed with an $n$-party nonlocal channel is together equal to a randomized decision tree with worst-case depth at most $\mathrm{DT}_\mathrm{depth}[f]$. Our results suggest that while $\mathsf{QNC^0}$ is surprisingly powerful for search and sampling tasks, that power is "locked away" in the global correlations of its output, inaccessible to simple classical computation for solving decision problems.
• Abstract（参考訳）: 最近の研究の行は、定数深度量子計算の非条件的優位性、または$\mathsf{QNC^0}$、$\mathsf{NC^0}$、$\mathsf{AC^0}$、および関連する古典計算のモデルを示している。 この利点を示す問題はパリティ関数に関連する探索およびサンプリングタスクであり、$\mathsf{qnc^0}$がパリティ自体を計算するのに役立つかどうかを問うのは自然である。 我々は$\mathsf{AC^0\circ QNC^0}$ -- $\mathsf{AC^0}$が$\mathsf{QNC^0}$回路の測定結果に基づいて動作するハイブリッド回路モデルについて研究し、$\mathsf{AC^0\circ QNC^0}$は$\Omega(1)$パリティとの相関が得られない。 この予想の証拠として、$\bullet$ が、$\mathsf{qnc^0}$回路がアンシラフリーであるとき、このモデルはパリティとの無視できない相関のみを達成する。 $\bullet$ 一般(非アンシラ自由)の場合、予想が近似次数 $o(n)$ を持つ任意の種類の後処理関数に対して持つ非局所ゲームとの接続を通して、$\mathsf{QNC^0}$ 回路が任意の量子アドバイスを受けるときでさえ、制限の下で閉じていることを示す。 既知の結果により、これは線型サイズ$\mathsf{AC^0}$回路の予想を確認する。 $\bullet$は、$\mathsf{AC^0\circ QNC^0}$のスイッチング補題に向けて、ブール関数の決定木複雑性に対する量子前処理の効果を研究する。 この見地からすると、非局所的チャネルはランダム性以上のものではないことが分かる:$n$の非局所的チャネルで予め構成されたブール関数$f$は、最大$\mathrm{dt}_\mathrm{depth}[f]$で最悪の場合の深さを持つランダム化された決定木に等しい。 以上の結果から,$\mathsf{QNC^0}$は,タスクの探索とサンプリングに驚くほど強力であるが,その出力のグローバルな相関は,決定問題を解くための単純な古典計算には到達できない。

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