論文の概要: Unconditionally separating noisy $\mathsf{QNC}^0$ from bounded polynomial threshold circuits of constant depth

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.16378v1
• Date: Thu, 29 Aug 2024 09:40:55 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-08-30 14:22:45.098369
• Title: Unconditionally separating noisy $\mathsf{QNC}^0$ from bounded polynomial threshold circuits of constant depth
• Title（参考訳）: 定数深さの有界多項式しきい値回路から無条件に$\mathsf{QNC}^0$を分離する
• Authors: Min-Hsiu Hsieh, Leandro Mendes, Michael de Oliveira, Sathyawageeswar Subramanian,
• Abstract要約: 制限しきい値関数を演算する境界を持つ定数深さ回路のクラスについて検討する。 十分大きな$mathsfbPTFC0[k]$の場合、$mathsfbPTFC0[k]は$mathsfTC0[k]を含む。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.66267734067296
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study classes of constant-depth circuits with gates that compute restricted polynomial threshold functions, recently introduced by [Kum23] as a family that strictly generalizes $\mathsf{AC}^0$. Denoting these circuit families $\mathsf{bPTFC}^0[k]$ for $\textit{bounded polynomial threshold circuits}$ parameterized by an integer-valued degree-bound $k$, we prove three hardness results separating these classes from constant-depth quantum circuits ($\mathsf{QNC}^0$). $\hspace{2em}$ - We prove that the parity halving problem [WKS+19], which $\mathsf{QNC}^0$ over qubits can solve with certainty, remains average-case hard for polynomial size $\mathsf{bPTFC}^0[k]$ circuits for all $k=\mathcal{O}(n^{1/(5d)})$. $\hspace{2em}$ - We construct a new family of relation problems based on computing $\mathsf{mod}\ p$ for each prime $p>2$, and prove a separation of $\mathsf{QNC}^0$ circuits over higher dimensional quantum systems (`qupits') against $\mathsf{bPTFC}^0[k]$ circuits for the same degree-bound parameter as above. $\hspace{2em}$ - We prove that both foregoing results are noise-robust under the local stochastic noise model, by introducing fault-tolerant implementations of non-Clifford $\mathsf{QNC}^0/|\overline{T^{1/p}}>$ circuits, that use logical magic states as advice. $\mathsf{bPTFC}^0[k]$ circuits can compute certain classes of Polynomial Threshold Functions (PTFs), which in turn serve as a natural model for neural networks and exhibit enhanced expressivity and computational capabilities. Furthermore, for large enough values of $k$, $\mathsf{bPTFC}^0[k]$ contains $\mathsf{TC}^0$ as a subclass. The main challenges we overcome include establishing classical average-case lower bounds, designing non-local games with quantum-classical gaps in winning probabilities and developing noise-resilient non-Clifford quantum circuits necessary to extend beyond qubits to higher dimensions.
• Abstract（参考訳）: 制限多項式しきい値関数を計算するゲートを持つ定数深さ回路のクラスについて、最近[Kum23]により、$\mathsf{AC}^0$を厳密に一般化する族として導入された。 これらの回路群を$\mathsf{bPTFC}^0[k]$ for $\textit{bounded polynomial threshold circuits}$パラメータ化すると、これらのクラスを定数深さ量子回路(\mathsf{QNC}^0$)から分離する3つの硬度結果が証明される。 $\hspace{2em}$ - パリティ半減算問題 [WKS+19] は qubits 上の$\mathsf{QNC}^0$ が確実に解けることを証明し、多項式サイズに対して $\mathsf{bPTFC}^0[k]$ の平均ケースハードは、すべての$k=\mathcal{O}(n^{1/(5d)})$ に対して残る。 $\hspace{2em}$ - 計算量$\mathsf{mod}\ p$を各素数$p>2$に対して構築し、高次元量子システム(`qupits')上の$\mathsf{QNC}^0$回路と、上記の次数有界パラメータに対する$\mathsf{bPTFC}^0[k]$回路との分離を証明する。 $\hspace{2em}$ - どちらの結果も局所確率的ノイズモデルの下でノイズロスであることを証明するため、非Clifford $\mathsf{QNC}^0/|\overline{T^{1/p}}>のフォールトトレラントな実装を導入する。 $\mathsf{bPTFC}^0[k]$回路は、ポリノミアル閾値関数(PTF)のある種のクラスを計算できる。 さらに、$k$, $\mathsf{bPTFC}^0[k]$は、サブクラスとして$\mathsf{TC}^0$を含む。 私たちが克服する主な課題は、古典的な平均ケースの下限の確立、勝利確率における量子古典的ギャップを持つ非局所ゲームの設計、量子ビットを超えて高次元に拡張するために必要なノイズ耐性の非クリフォード量子回路の開発である。

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