論文の概要: Neural Networks for Singular Perturbations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.06656v1
• Date: Fri, 12 Jan 2024 16:02:18 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-15 18:56:54.636790
• Title: Neural Networks for Singular Perturbations
• Title（参考訳）: 特異摂動のためのニューラルネットワーク
• Authors: Joost A. A. Opschoor, Christoph Schwab, Christos Xenophontos
• Abstract要約: 特異摂動楕円型二点境界値問題のモデルクラスの解集合に対する表現率境界を証明した。 我々は, NNサイズの観点から, ソボレフノルムの表現速度境界を定めている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We prove deep neural network (DNN for short) expressivity rate bounds for solution sets of a model class of singularly perturbed, elliptic two-point boundary value problems, in Sobolev norms, on the bounded interval $(-1,1)$. We assume that the given source term and reaction coefficient are analytic in $[-1,1]$. We establish expression rate bounds in Sobolev norms in terms of the NN size which are uniform with respect to the singular perturbation parameter for several classes of DNN architectures. In particular, ReLU NNs, spiking NNs, and $\tanh$- and sigmoid-activated NNs. The latter activations can represent ``exponential boundary layer solution features'' explicitly, in the last hidden layer of the DNN, i.e. in a shallow subnetwork, and afford improved robust expression rate bounds in terms of the NN size. We prove that all DNN architectures allow robust exponential solution expression in so-called `energy' as well as in `balanced' Sobolev norms, for analytic input data.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,ソボレフ法則において,一様摂動型楕円型2点境界値問題の解集合に対して,有界区間$(-1,1)$に対して,Deep Neural Network (DNN for short) expressivity rate boundsを証明した。 与えられた源項と反応係数は$[-1,1]$で解析可能であると仮定する。 DNNアーキテクチャのいくつかのクラスに対する特異摂動パラメータに関して一様であるNNサイズの観点から、ソボレフノルムにおける表現速度境界を確立する。 特に、ReLU NN、スパイクNN、$\tanh$-およびsigmoid-activated NN。 後者のアクティベーションは、DNNの最後の隠された層、すなわち浅いサブネットワークにおいて、明示的に 'exponential boundary layer solution features'' を表現でき、NNサイズの観点から堅牢な表現率境界を改善することができる。 すべてのDNNアーキテクチャは、解析入力データに対して、いわゆる「エネルギー」と「平衡」ソボレフノルムで堅牢な指数関数的解表現を可能にすることを証明している。

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