論文の概要: dNNsolve: an efficient NN-based PDE solver

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.08662v1
• Date: Mon, 15 Mar 2021 19:14:41 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-03-18 00:42:37.248733
• Title: dNNsolve: an efficient NN-based PDE solver
• Title（参考訳）: dNNsolve: NNベースの効率的なPDEソルバ
• Authors: Veronica Guidetti, Francesco Muia, Yvette Welling and Alexander Westphal
• Abstract要約: ODE/PDEを解決するためにデュアルニューラルネットワークを利用するdNNsolveを紹介します。 我々は,dNNsolveが1,2,3次元の幅広いODE/PDEを解くことができることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 62.997667081978825
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Neural Networks (NNs) can be used to solve Ordinary and Partial Differential Equations (ODEs and PDEs) by redefining the question as an optimization problem. The objective function to be optimized is the sum of the squares of the PDE to be solved and of the initial/boundary conditions. A feed forward NN is trained to minimise this loss function evaluated on a set of collocation points sampled from the domain where the problem is defined. A compact and smooth solution, that only depends on the weights of the trained NN, is then obtained. This approach is often referred to as PINN, from Physics Informed Neural Network~\cite{raissi2017physics_1, raissi2017physics_2}. Despite the success of the PINN approach in solving various classes of PDEs, an implementation of this idea that is capable of solving a large class of ODEs and PDEs with good accuracy and without the need to finely tune the hyperparameters of the network, is not available yet. In this paper, we introduce a new implementation of this concept - called dNNsolve - that makes use of dual Neural Networks to solve ODEs/PDEs. These include: i) sine and sigmoidal activation functions, that provide a more efficient basis to capture both secular and periodic patterns in the solutions; ii) a newly designed architecture, that makes it easy for the the NN to approximate the solution using the basis functions mentioned above. We show that dNNsolve is capable of solving a broad range of ODEs/PDEs in 1, 2 and 3 spacetime dimensions, without the need of hyperparameter fine-tuning.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワーク(nns)は、問題を最適化問題として再定義することで、通常の偏微分方程式(odesとpdes)を解くのに使うことができる。 最適化すべき目的関数は、解決すべきPDEの平方と初期/境界条件の和である。 フィードフォワードnnは、問題の定義領域からサンプリングされた一連のコロケーションポイントで評価されたこの損失関数を最小化するように訓練される。 訓練されたNNの重みにのみ依存するコンパクトで滑らかな解が得られる。 この手法はしばしば PINN と呼ばれ、物理情報ニューラルネットワーク~\cite{raissi2017physics_1, raissi2017physics_2} に由来する。 PDEの様々なクラスを解決するためのPINNアプローチの成功にもかかわらず、ネットワークのハイパーパラメータを微調整する必要がなく、高い精度で多数のODEとPDEを解くことができるこのアイデアの実装はまだ利用できない。 本稿では,この概念の新たな実装であるdNNsolveを紹介し,ODE/PDEを解くためにデュアルニューラルネットワークを利用する。 i) 正弦およびシグモイド活性化関数は、解の周期的パターンと周期的パターンの両方を捉えるためのより効率的な基礎を提供し、ii) nnが上記の基底関数を用いて解を近似することを容易にする、新しく設計されたアーキテクチャである。 DNNsolveは1, 2, 3の時空次元において,ハイパーパラメータの微調整を必要とせずに,幅広いODE/PDEを解くことができることを示す。

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