論文の概要: Quantum Eigensolver for General Matrices
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.12091v1
- Date: Mon, 22 Jan 2024 16:29:08 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-23 13:26:42.355687
- Title: Quantum Eigensolver for General Matrices
- Title（参考訳）: 一般行列に対する量子固有解法
- Authors: Xiao-Ming Zhang, Yunkun Zhang, Wenhao He and Xiao Yuan
- Abstract要約: 本稿では,一般行列に対する固有値問題の解法に適した新しい量子アルゴリズム群を提案する。
我々のアルゴリズムはマルコフ連鎖の緩和時間の推定を含む様々な領域の応用を見出す。
これらの応用は、様々な分野にわたる問題に対する量子固有解法の重要性を浮き彫りにしている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.811990276393904
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The eigenvalue problem, a cornerstone in linear algebra, provides profound
insights into studying matrix properties. Quantum algorithms addressing this
problem have hitherto been constrained to special normal matrices assuming
spectral decomposition, leaving the extension to general matrices an open
challenge. In this work, we present a novel family of quantum algorithms
tailored for solving the eigenvalue problem for general matrices, encompassing
scenarios with complex eigenvalues or even defective matrices. Our approach
begins by tackling the task of searching for an eigenvalue without additional
constraints. For diagonalizable matrices, our algorithm has $\tilde
O(\varepsilon^{-1})$ complexity with an error $\varepsilon$, achieving the
nearly Heisenberg scaling. Subsequently, we study the identification of
eigenvalues closest to a specified point or line, extending the results for
ground energy and energy gap problems in Hermitian matrices. We achieve an
accuracy scaling of $\tilde O(\varepsilon^{-2})$ for general diagonalizable
matrices, further refining to $\tilde O(\varepsilon^{-1})$ under the condition
of real eigenvalues or constant distance from the reference point. The
algorithm's foundation lies in the synergy of three techniques: the
relationship between eigenvalues of matrix $A$ and the minimum singular value
of $A-\mu I$, quantum singular value threshold subroutine extended from quantum
singular-value estimation, and problem-specific searching algorithms. Our
algorithms find applications in diverse domains, including estimating the
relaxation time of Markov chains, solving Liouvillian gaps in open quantum
systems, and verifying PT-symmetry broken/unbroken phases. These applications
underscore the significance of our quantum eigensolvers for problems across
various disciplines.
- Abstract（参考訳）: 固有値問題(英語版)は線型代数の基盤であり、行列の性質の研究に深い洞察を与える。
この問題に対処する量子アルゴリズムは、スペクトル分解を仮定する特別な正規行列に制限されており、一般行列への拡張はオープンな課題である。
本研究では, 一般行列に対する固有値問題の解法として, 複雑な固有値や欠陥行列を含む新しい量子アルゴリズム群を提案する。
我々のアプローチは、追加の制約なしに固有値を探すタスクに取り組むことから始まります。
対角化可能な行列に対して、我々のアルゴリズムは$\tilde o(\varepsilon^{-1})$ とエラー $\varepsilon$ を持ち、ほぼハイゼンベルクスケーリングを達成する。
その後,特定の点や直線に最も近い固有値の同定を行い,エルミート行列における地中エネルギーおよびエネルギーギャップ問題の結果を拡張した。
一般対角化可能な行列に対する$\tilde o(\varepsilon^{-2})$の精度スケーリングを実現し、さらに実固有値や基準点からの距離の一定条件下で$\tilde o(\varepsilon^{-1})$に精算する。
このアルゴリズムの基礎は、行列$A$の固有値と$A-\mu I$の最小特異値の関係、量子特異値推定から拡張された量子特異値しきい値サブルーチン、および問題固有探索アルゴリズムの3つの手法の相乗関係にある。
このアルゴリズムは,マルコフ連鎖の緩和時間の推定,開量子系におけるリウビリアンギャップの解法,pt対称性の破れ・崩壊の位相の検証など,様々な領域で応用できる。
これらの応用は、様々な分野にわたる問題に対する量子固有解法の重要性を強調している。
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