論文の概要: Optimization without Retraction on the Random Generalized Stiefel Manifold

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.01702v3
• Date: Fri, 08 Nov 2024 18:17:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-11 14:52:51.517296
• Title: Optimization without Retraction on the Random Generalized Stiefel Manifold
• Title（参考訳）: ランダム一般化スティフェル多様体上のリトラクションなし最適化
• Authors: Simon Vary, Pierre Ablin, Bin Gao, P. -A. Absil,
• Abstract要約: 本稿では,B$のランダムな推定値にのみアクセスしながら,最適化問題を解く,安価な反復手法を提案する。 我々の方法はすべての反復において制約を強制するのではなく、予想で定義される一般化されたスティーフェル多様体上の臨界点に収束する反復を生成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.301728976515255
• License:
• Abstract: Optimization over the set of matrices $X$ that satisfy $X^\top B X = I_p$, referred to as the generalized Stiefel manifold, appears in many applications involving sampled covariance matrices such as the canonical correlation analysis (CCA), independent component analysis (ICA), and the generalized eigenvalue problem (GEVP). Solving these problems is typically done by iterative methods that require a fully formed $B$. We propose a cheap stochastic iterative method that solves the optimization problem while having access only to random estimates of $B$. Our method does not enforce the constraint in every iteration; instead, it produces iterations that converge to critical points on the generalized Stiefel manifold defined in expectation. The method has lower per-iteration cost, requires only matrix multiplications, and has the same convergence rates as its Riemannian optimization counterparts that require the full matrix $B$. Experiments demonstrate its effectiveness in various machine learning applications involving generalized orthogonality constraints, including CCA, ICA, and the GEVP.
• Abstract（参考訳）: X^\top B X = I_p$ を満たす行列の集合上の最適化は一般化スティーフェル多様体と呼ばれ、正準相関解析(CCA)、独立成分解析(ICA)、一般化固有値問題(GEVP)などのサンプル共分散行列を含む多くの応用に現れる。 これらの問題の解決は、通常、完全に構成された$B$を必要とする反復的な方法によって行われる。 本稿では,B$のランダムな推定値にのみアクセス可能でありながら,最適化問題を解く,安価な確率的反復法を提案する。 我々の方法はすべての反復において制約を強制するのではなく、予想で定義される一般化されたスティーフェル多様体上の臨界点に収束する反復を生成する。 この手法は点当たりのコストが低く、行列乗法しか必要とせず、リーマン最適化と同じ収束率を持ち、完全行列の$B$を必要とする。 実験は、CCA、ICA、GEVPを含む一般化直交制約を含む様々な機械学習アプリケーションでその効果を示す。

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