論文の概要: Max-sliced Wasserstein concentration and uniform ratio bounds of empirical measures on RKHS
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.13153v1
- Date: Tue, 21 May 2024 18:47:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-25 02:13:10.855762
- Title: Max-sliced Wasserstein concentration and uniform ratio bounds of empirical measures on RKHS
- Title（参考訳）: 最大スライスワッサーシュタイン濃度とRKHSの実験測度の均一比境界
- Authors: Ruiyu Han, Cynthia Rush, Johannes Wiesel,
- Abstract要約: 最適なトランスポートとワッサーシュタイン距離$mathcalW_p$は最近、統計学、機械学習、データサイエンス、物理科学の分野で多くの応用例を見てきた。
しかし、これらの応用は次元性の呪いによって厳しく制限されているため、これらの問題を推定するために必要なデータポイントの数は次元において指数関数的に増加する。
ここでは、これらの変種の一つ、すなわち最大スライスされたワッサーシュタイン計量 $overlinemathcalW_p$ に焦点を当てる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.783697404304025
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Optimal transport and the Wasserstein distance $\mathcal{W}_p$ have recently seen a number of applications in the fields of statistics, machine learning, data science, and the physical sciences. These applications are however severely restricted by the curse of dimensionality, meaning that the number of data points needed to estimate these problems accurately increases exponentially in the dimension. To alleviate this problem, a number of variants of $\mathcal{W}_p$ have been introduced. We focus here on one of these variants, namely the max-sliced Wasserstein metric $\overline{\mathcal{W}}_p$. This metric reduces the high-dimensional minimization problem given by $\mathcal{W}_p$ to a maximum of one-dimensional measurements in an effort to overcome the curse of dimensionality. In this note we derive concentration results and upper bounds on the expectation of $\overline{\mathcal{W}}_p$ between the true and empirical measure on unbounded reproducing kernel Hilbert spaces. We show that, under quite generic assumptions, probability measures concentrate uniformly fast in one-dimensional subspaces, at (nearly) parametric rates. Our results rely on an improvement of currently known bounds for $\overline{\mathcal{W}}_p$ in the finite-dimensional case.
- Abstract（参考訳）: 最適輸送とワッサーシュタイン距離$\mathcal{W}_p$は最近、統計学、機械学習、データサイエンス、物理科学の分野で多くの応用例を見てきた。
しかし、これらの応用は次元性の呪いによって厳しく制限されているため、これらの問題を推定するために必要なデータポイントの数は次元において指数関数的に増加する。
この問題を緩和するために、$\mathcal{W}_p$の多くの変種が導入された。
ここでは、これらの変種の一つ、すなわち max-sliced Wasserstein 計量 $\overline{\mathcal{W}}_p$ に焦点を当てる。
この計量は、$\mathcal{W}_p$によって与えられる高次元最小化問題を、次元性の呪いを克服するために最大1次元の測定値に還元する。
ここでは、非有界再生核ヒルベルト空間上の実測度と経験測度の間の$\overline{\mathcal{W}}_p$の期待値の集中結果と上界を導出する。
非常に一般的な仮定の下では、確率測度は(ほぼ)パラメトリックレートで、一次元部分空間において一様に高速に集中することが示される。
我々の結果は、有限次元の場合の$\overline{\mathcal{W}}_p$に対する現在知られている境界の改善に依存している。
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