論文の概要: Synchronization on circles and spheres with nonlinear interactions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.18273v1
- Date: Tue, 28 May 2024 15:24:30 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-29 17:59:58.634816
- Title: Synchronization on circles and spheres with nonlinear interactions
- Title（参考訳）: 非線形相互作用を持つ円と球の同期
- Authors: Christopher Criscitiello, Quentin Rebjock, Andrew D. McRae, Nicolas Boumal,
- Abstract要約: 球面上の$n$の点のダイナミクスを$mathbbRd$$$d geq 2$) と考えて、内部積の $varphi$ に従って互いに惹きつける。
varphi$が線型(varphi(t) = t$)であるとき、各点は様々な接続シナリオにおいて共通値(つまり同期)に収束する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.887244952811574
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We consider the dynamics of $n$ points on a sphere in $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) which attract each other according to a function $\varphi$ of their inner products. When $\varphi$ is linear ($\varphi(t) = t$), the points converge to a common value (i.e., synchronize) in various connectivity scenarios: this is part of classical work on Kuramoto oscillator networks. When $\varphi$ is exponential ($\varphi(t) = e^{\beta t}$), these dynamics correspond to a limit of how idealized transformers process data, as described by Geshkovski et al. (2024). Accordingly, they ask whether synchronization occurs for exponential $\varphi$. In the context of consensus for multi-agent control, Markdahl et al. (2018) show that for $d \geq 3$ (spheres), if the interaction graph is connected and $\varphi$ is increasing and convex, then the system synchronizes. What is the situation on circles ($d=2$)? First, we show that $\varphi$ being increasing and convex is no longer sufficient. Then we identify a new condition (that the Taylor coefficients of $\varphi'$ are decreasing) under which we do have synchronization on the circle. In so doing, we provide some answers to the open problems posed by Geshkovski et al. (2024).
- Abstract（参考訳）: 球面上の$n$の点のダイナミクスを$\mathbb{R}^d$$$$d \geq 2$) とみなす。
$\varphi$ が線型$\varphi(t) = t$ であるとき、ポイントは様々な接続シナリオにおいて共通値(つまり同期)に収束する。
指数$\varphi$が指数$\varphi(t) = e^{\beta t}$であるとき、これらのダイナミクスはゲシュコフスキーら(2024年)に述べられているように、理想化されたトランスフォーマーがデータを処理する限界に対応する。
したがって、指数$\varphi$に対して同期が発生するかどうかを問う。
マルチエージェント制御のコンセンサスという文脈において、Markdahl et al (2018) は、$d \geq 3$ (spheres) の場合、相互作用グラフが連結であり、$\varphi$ が増加して凸であるなら、システムは同期することを示した。
円(d=2$)の状況はどうなっていますか。
まず、$\varphi$ の増加と凸はもはや不十分であることを示す。
次に、円上に同期を持つ新しい条件($\varphi'$のテイラー係数が減少している)を特定する。
このようにして、Geshkovski et al (2024) が提起した開問題に対するいくつかの答えを提供する。
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