論文の概要: Equidistribution-based training of Free Knot Splines and ReLU Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.02153v1
• Date: Tue, 2 Jul 2024 10:51:36 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-03 15:45:15.812442
• Title: Equidistribution-based training of Free Knot Splines and ReLU Neural Networks
• Title（参考訳）: 自由結び目とReLUニューラルネットワークの等価分布に基づく学習
• Authors: Simone Appella, Simon Arridge, Chris Budd, Teo Deveney, Lisa Maria Kreusser,
• Abstract要約: 直交線形ユニット(ReLU)アクティベーション機能を持つ浅層ニューラルネットワーク(NN)を用いた一次元関数近似の問題点を考察する。 ネットワークの幅が大きくなるにつれて,悪条件が急速に低下することを示す。 我々は、ReLU NNのトレーニング手順を改善するために、最適片方向線形補間理論を利用する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: We consider the problem of one-dimensional function approximation using shallow neural networks (NN) with a rectified linear unit (ReLU) activation function and compare their training with traditional methods such as univariate Free Knot Splines (FKS). ReLU NNs and FKS span the same function space, and thus have the same theoretical expressivity. In the case of ReLU NNs, we show that their ill-conditioning degrades rapidly as the width of the network increases. This often leads to significantly poorer approximation in contrast to the FKS representation, which remains well-conditioned as the number of knots increases. We leverage the theory of optimal piecewise linear interpolants to improve the training procedure for a ReLU NN. Using the equidistribution principle, we propose a two-level procedure for training the FKS by first solving the nonlinear problem of finding the optimal knot locations of the interpolating FKS. Determining the optimal knots then acts as a good starting point for training the weights of the FKS. The training of the FKS gives insights into how we can train a ReLU NN effectively to give an equally accurate approximation. More precisely, we combine the training of the ReLU NN with an equidistribution based loss to find the breakpoints of the ReLU functions, combined with preconditioning the ReLU NN approximation (to take an FKS form) to find the scalings of the ReLU functions, leads to a well-conditioned and reliable method of finding an accurate ReLU NN approximation to a target function. We test this method on a series or regular, singular, and rapidly varying target functions and obtain good results realising the expressivity of the network in this case.
• Abstract（参考訳）: 直交線形ユニット(ReLU)アクティベーション機能を備えた浅層ニューラルネットワーク(NN)を用いた一次元関数近似の問題点を考察し,そのトレーニングをFKS(Univariate Free Knot Splines)のような従来の手法と比較する。 ReLU NN と FKS は同じ関数空間にまたがり、したがって同じ理論的表現性を持つ。 ReLU NN の場合,ネットワークの幅が大きくなるにつれて,悪条件が急速に低下することを示す。 これはしばしば FKS 表現とは対照的に、結び目の数が増加するにつれてよく条件付けされているため、近似が著しく劣る。 我々は、ReLU NNのトレーニング手順を改善するために、最適片方向線形補間理論を利用する。 等価分布原理を用いて、補間FKSの最適ノット位置を求める非線形問題を初めて解くことにより、FKSを訓練するための2段階の手順を提案する。 最適結び目を決定することは、FKSの重みを訓練するための良い出発点として機能する。 FKSのトレーニングは、ReLU NNを効果的にトレーニングし、等しく正確な近似を与える方法についての洞察を与える。 より正確には、ReLU NNのトレーニングと等価分布に基づく損失を組み合わせてReLU関数のブレークポイントを見つけ、ReLU NN近似(FKS形式を取る)を事前条件付けしてReLU関数のスケーリングを見つけ、目標関数に対する正確なReLU NN近似を見つけるための、十分に条件付き信頼性の高い方法をもたらす。 本手法は, 連続的, 正規的, 特異な, 急速に変化する対象関数に対して試験を行い, ネットワークの表現性を実現する。

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