論文の概要: Mathematical Programming Algorithms for Convex Hull Approximation with a Hyperplane Budget

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.17341v2
• Date: Fri, 26 Jul 2024 19:34:11 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-30 20:22:03.405108
• Title: Mathematical Programming Algorithms for Convex Hull Approximation with a Hyperplane Budget
• Title（参考訳）: ハイパープレーン予算を用いた凸ハル近似の数学的プログラミングアルゴリズム
• Authors: Michele Barbato, Alberto Ceselli, Rosario Messana,
• Abstract要約: 我々は、すべての正の点と負の点を含む、ほとんどのK面を持つ凸多面体を探索する。 この問題は純粋凸多面体近似の文献で知られている。 私たちの関心は、制約学習の応用の可能性に起因しています。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We consider the following problem in computational geometry: given, in the d-dimensional real space, a set of points marked as positive and a set of points marked as negative, such that the convex hull of the positive set does not intersect the negative set, find K hyperplanes that separate, if possible, all the positive points from the negative ones. That is, we search for a convex polyhedron with at most K faces, containing all the positive points and no negative point. The problem is known in the literature for pure convex polyhedral approximation; our interest stems from its possible applications in constraint learning, where points are feasible or infeasible solutions of a Mixed Integer Program, and the K hyperplanes are linear constraints to be found. We cast the problem as an optimization one, minimizing the number of negative points inside the convex polyhedron, whenever exact separation cannot be achieved. We introduce models inspired by support vector machines and we design two mathematical programming formulations with binary variables. We exploit Dantzig-Wolfe decomposition to obtain extended formulations, and we devise column generation algorithms with ad-hoc pricing routines. We compare computing time and separation error values obtained by all our approaches on synthetic datasets, with number of points from hundreds up to a few thousands, showing our approaches to perform better than existing ones from the literature. Furthermore, we observe that key computational differences arise, depending on whether the budget K is sufficient to completely separate the positive points from the negative ones or not. On 8-dimensional instances (and over), existing convex hull algorithms become computational inapplicable, while our algorithms allow to identify good convex hull approximations in minutes of computation.
• Abstract（参考訳）: d-次元実空間において、正の点の集合と負の点の集合が与えられたとき、正の集合の凸包が負の集合と交わらないように、正の点と負の点の集合が与えられたとき、可能であればすべての正の点を負の集合から分離するK超平面を見つける。 すなわち、ほとんどのK面を持つ凸多面体を探索し、すべての正の点と負の点を含まない。 この問題は純粋凸多面体近似の文献で知られており、我々の関心は制約学習の応用に起因している。 この問題を最適化として,凸多面体内部の負点数を最小限に抑えた。 サポートベクトルマシンにインスパイアされたモデルを導入し、バイナリ変数を持つ2つの数学的プログラミング定式化を設計する。 我々はDantzig-Wolfe分解を利用して拡張定式化を行い、アドホックな価格ルーチンを持つ列生成アルゴリズムを考案する。 我々は、合成データセットに対する全てのアプローチで得られた計算時間と分離誤差値を比較し、数百から数千までのポイント数を比較し、文献の既存のものよりも優れたパフォーマンスを示す。 さらに、予算Kが正の点と負の点とを完全に分離するのに十分なかどうかによって、重要な計算上の違いが生じることを観察する。 8次元の場合(およびそれ以上の場合)、既存の凸船体アルゴリズムは計算不能となり、一方、我々のアルゴリズムは計算の数分で凸船体近似を識別できる。

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