論文の概要: Accelerated Algorithms for Convex and Non-Convex Optimization on Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2010.08908v1
• Date: Sun, 18 Oct 2020 02:48:22 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-06 04:41:54.192525
• Title: Accelerated Algorithms for Convex and Non-Convex Optimization on Manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の凸および非凸最適化の高速化アルゴリズム
• Authors: Lizhen Lin, Bayan Saparbayeva, Michael Minyi Zhang, David B. Dunson
• Abstract要約: 距離における凸問題と非最適化問題の解法を提案する。 提案アルゴリズムは,目的関数における複雑性のレベルに適応する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.632674803757475
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We propose a general scheme for solving convex and non-convex optimization problems on manifolds. The central idea is that, by adding a multiple of the squared retraction distance to the objective function in question, we "convexify" the objective function and solve a series of convex sub-problems in the optimization procedure. One of the key challenges for optimization on manifolds is the difficulty of verifying the complexity of the objective function, e.g., whether the objective function is convex or non-convex, and the degree of non-convexity. Our proposed algorithm adapts to the level of complexity in the objective function. We show that when the objective function is convex, the algorithm provably converges to the optimum and leads to accelerated convergence. When the objective function is non-convex, the algorithm will converge to a stationary point. Our proposed method unifies insights from Nesterov's original idea for accelerating gradient descent algorithms with recent developments in optimization algorithms in Euclidean space. We demonstrate the utility of our algorithms on several manifold optimization tasks such as estimating intrinsic and extrinsic Fr\'echet means on spheres and low-rank matrix factorization with Grassmann manifolds applied to the Netflix rating data set.
• Abstract（参考訳）: 多様体上の凸および非凸最適化問題を解くための一般的なスキームを提案する。 中心的な考え方は、問題となる対象関数に平方リトラクション距離を複数加えることにより、目的関数を「凸化」し、最適化手順における一連の凸部分確率を解くことである。 多様体上の最適化の鍵となる課題の1つは、対象函数の複雑さ、例えば、目的函数が凸か非凸か、非凸性の度合いを検証することの難しさである。 提案アルゴリズムは,目的関数における複雑性のレベルに適応する。 目的関数が凸であるとき、アルゴリズムは確実に最適に収束し、加速収束をもたらすことを示す。 目的関数が凸でない場合、アルゴリズムは定常点に収束する。 提案手法は, ユークリッド空間における最適化アルゴリズムの最近の発展にともなって, 勾配降下アルゴリズムの高速化に関するネステロフの考えから得られた知見を統一するものである。 本稿では,球面上の内在的および外在的fr\'echet平均の推定や,netflix 評価データセットに適用されたグラスマン多様体を用いた低ランク行列分解など,いくつかの多様体最適化タスクにおけるアルゴリズムの有用性を示す。

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