論文の概要: Graphons of Line Graphs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.01656v1
• Date: Tue, 3 Sep 2024 06:50:03 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-06 02:43:06.861881
• Title: Graphons of Line Graphs
• Title（参考訳）: 線グラフのグラフ
• Authors: Sevvandi Kandanaarachchi, Cheng Soon Ong,
• Abstract要約: グラフンは収束グラフ列の極限である。 スパースグラフはゼログラフに収束し、生成されたグラフは空か端なしとなる。 スパースグラフの特定の部分集合に光を放つ簡単な方法を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.822247359790484
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A graphon is the limit of a converging graph sequence. Graphons of dense graphs are useful as they can act as a blueprint and generate graphs of arbitrary size with similar properties. But for sparse graphs this is not the case. Sparse graphs converge to the zero graphon, making the generated graphs empty or edgeless. Thus, the classical graphon definition fails for sparse graphs. Several methods have been proposed to overcome this limitation and to understand sparse graphs more deeply. However, the fragile nature of sparse graphs makes these methods mathematically complex. In this paper we show a simple method that can shed light on a certain subset of sparse graphs. The method involves mapping the original graphs to their line graphs. Line graphs map edges to vertices and connects edges when edges in the original graph share a vertex. We show that graphs satisfying a particular property, which we call the square-degree property are sparse, but give rise to dense line graphs. In particular, star graphs satisfy the square-degree property resulting in dense line graphs and non-zero graphons of line graphs. Similarly, superlinear preferential attachment graphs give rise to dense line graphs almost surely. In contrast, dense graphs, including Erdos-Renyi graphs make the line graphs sparse, resulting in the zero graphon.
• Abstract（参考訳）: グラフンは収束グラフ列の極限である。 密度グラフのグラフは、ブループリントとして機能し、同様の性質を持つ任意の大きさのグラフを生成することができるため、有用である。 しかし、スパースグラフではそうではない。 スパースグラフはゼログラフに収束し、生成されたグラフは空か端なしとなる。 したがって、古典的なグラフ定義はスパースグラフでは失敗する。 この制限を克服し、スパースグラフをより深く理解するために、いくつかの方法が提案されている。 しかし、スパースグラフの脆弱な性質は、これらの手法を数学的に複雑にする。 本稿では,スパースグラフの特定の部分集合に光を放つ簡単な方法を示す。 この手法では、元のグラフを行グラフにマッピングする。 線グラフはエッジを頂点にマッピングし、元のグラフのエッジが頂点を共有するときにエッジを接続する。 グラフが特定の性質を満たすことを示し、この2次性質はスパースであるが、密度の高い線グラフをもたらす。 特に、星グラフは、密度の高い直線グラフと直線グラフのゼロでないグラフを生じる2次特性を満たす。 同様に、超線型優越アタッチメントグラフは、ほぼ確実に高密度な直線グラフをもたらす。 対照的に、エルドス=レーニグラフを含む密度グラフは線グラフをスパースにし、結果としてゼログラフとなる。

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