論文の概要: Optimal sampling for least-squares approximation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.02342v1
- Date: Wed, 4 Sep 2024 00:06:23 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-09-05 20:51:59.792070
- Title: Optimal sampling for least-squares approximation
- Title（参考訳）: 最小二乗近似のための最適サンプリング
- Authors: Ben Adcock,
- Abstract要約: ランダムサンプルから(重み付けされた)最小二乗近似の解析において、クリスティーフェル関数を重要な量として導入する。
ほぼ最適なサンプル複雑性を持つサンプリング戦略を構築するためにどのように使用できるかを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8702432681310399
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Least-squares approximation is one of the most important methods for recovering an unknown function from data. While in many applications the data is fixed, in many others there is substantial freedom to choose where to sample. In this paper, we review recent progress on optimal sampling for (weighted) least-squares approximation in arbitrary linear spaces. We introduce the Christoffel function as a key quantity in the analysis of (weighted) least-squares approximation from random samples, then show how it can be used to construct sampling strategies that possess near-optimal sample complexity: namely, the number of samples scales log-linearly in $n$, the dimension of the approximation space. We discuss a series of variations, extensions and further topics, and throughout highlight connections to approximation theory, machine learning, information-based complexity and numerical linear algebra. Finally, motivated by various contemporary applications, we consider a generalization of the classical setting where the samples need not be pointwise samples of a scalar-valued function, and the approximation space need not be linear. We show that even in this significantly more general setting suitable generalizations of the Christoffel function still determine the sample complexity. This provides a unified procedure for designing improved sampling strategies for general recovery problems. This article is largely self-contained, and intended to be accessible to nonspecialists.
- Abstract（参考訳）: 最小二乗近似は、未知の関数をデータから復元する最も重要な方法の1つである。
多くのアプリケーションではデータが固定されているが、他の多くのアプリケーションではサンプルの場所を選択する自由がある。
本稿では、任意の線型空間における(重み付けされた)最小二乗近似の最適サンプリングに関する最近の進歩について述べる。
ランダムサンプルから(重み付けされた)最小二乗近似を解析する上で重要な量としてChristoffel関数を導入し、次に、近似空間の次元である$n$で対数的にスケールするサンプルの数を、ほぼ最適サンプルの複雑性を持つサンプリング戦略を構築する方法を示す。
本稿では,一連の変分,拡張,さらに話題について論じるとともに,近似理論,機械学習,情報ベース複雑性,数値線形代数学などとの関係を概観する。
最後に、様々な現代的応用を動機として、標本がスカラー値関数の点的サンプルである必要がなく、近似空間が線型でなくてもよい古典的な設定の一般化を考える。
この非常に一般的な設定においても、クリストッフェル函数の適切な一般化が標本の複雑さを決定づけていることが示される。
これにより、一般的なリカバリ問題に対する改良されたサンプリング戦略を設計するための統一的な手順が提供される。
この記事は、主に自己完結型であり、非専門主義者にアクセスできることを意図している。
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