Fugu-MT 論文翻訳(概要): On the Computational Power of QAC0 with Barely Superlinear Ancillae

論文の概要: On the Computational Power of QAC0 with Barely Superlinear Ancillae

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.06499v1
Date: Wed, 9 Oct 2024 02:55:57 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2024-11-01 05:18:55.551995
Title: On the Computational Power of QAC0 with Barely Superlinear Ancillae
Title（参考訳）: 超線形アンシラを用いたQAC0の計算パワーについて
Authors: Anurag Anshu, Yangjing Dong, Fengning Ou, Penghui Yao,
Abstract要約: 任意の深さ$$$mathrmQAC0$回路は、近似次数で関数を計算するのに$n1+3d$ ancillaを必要とすることを示す。これは、パリティの計算に必要なアンシラの大きさに関する最初の超線形下界である。
参考スコア（独自算出の注目度）: 10.737102385599169
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: $\mathrm{QAC}^0$ is the family of constant-depth polynomial-size quantum circuits consisting of arbitrary single qubit unitaries and multi-qubit Toffoli gates. It was introduced by Moore [arXiv: 9903046] as a quantum counterpart of $\mathrm{AC}^0$, along with the conjecture that $\mathrm{QAC}^0$ circuits can not compute PARITY. In this work we make progress on this longstanding conjecture: we show that any depth-$d$ $\mathrm{QAC}^0$ circuit requires $n^{1+3^{-d}}$ ancillae to compute a function with approximate degree $\Theta(n)$, which includes PARITY, MAJORITY and $\mathrm{MOD}_k$. This is the first superlinear lower bound on the size of the ancillae required for computing parity. We further establish superlinear lower bounds on quantum state synthesis and quantum channel synthesis. These lower bounds are derived by giving low-degree approximations to $\mathrm{QAC}^0$ circuits. We show that a depth-$d$ $\mathrm{QAC}^0$ circuit with $a$ ancillae, when applied to low-degree operators, has a degree $(n+a)^{1-3^{-d}}$ polynomial approximation in the spectral norm. This implies that the class $\mathrm{QLC}^0$, corresponding to linear size $\mathrm{QAC}^0$ circuits, has approximate degree $o(n)$. This is a quantum generalization of the result that $\mathrm{LC}^0$ circuits have approximate degree $o(n)$ by Bun, Robin, and Thaler [SODA 2019]. Our result also implies that $\mathrm{QLC}^0\neq\mathrm{NC}^1$.
Abstract（参考訳）: $\mathrm{QAC}^0$ は、任意の単一キュービットユニタリとマルチキュービットトフォリゲートからなる定数深さ多項式サイズの量子回路の族である。ムーア (arXiv: 9903046) によって$\mathrm{AC}^0$ の量子対として導入され、$\mathrm{QAC}^0$ 回路がPARITYを計算できないという予想とともに導入された。この研究において、我々はこの長年の予想を前進させる: 深さ-d$$\mathrm{QAC}^0$回路は、近似次数$\Theta(n)$で関数を計算するために$n^{1+3^{-d}}$ ancillaeを必要とし、PARITY、MAJORITY、$\mathrm{MOD}_k$を含む。これは、パリティの計算に必要なアンシラの大きさに関する最初の超線形下界である。さらに、量子状態合成と量子チャネル合成の超線形下界を確立する。これらの下界は、$\mathrm{QAC}^0$回路に低次近似を与えることによって導かれる。低次作用素に適用すると、d$$$$\mathrm{QAC}^0$回路がスペクトルノルムの次数$(n+a)^{1-3^{-d}}$多項式近似を持つことを示す。これは、線型サイズ $\mathrm{QAC}^0$ に対応するクラス $\mathrm{QLC}^0$ が近似次数 $o(n)$ を持つことを意味する。これは、$\mathrm{LC}^0$ 回路が、Bun, Robin, Thaler [SODA 2019] による近似次数 $o(n)$ を持つという結果の量子一般化である。我々の結果は、$\mathrm{QLC}^0\neq\mathrm{NC}^1$であることを意味する。

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