論文の概要: On the sample complexity of purity and inner product estimation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.12712v1
• Date: Wed, 16 Oct 2024 16:17:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-17 13:43:05.649250
• Title: On the sample complexity of purity and inner product estimation
• Title（参考訳）: 純度のサンプル複雑性と内積推定について
• Authors: Weiyuan Gong, Jonas Haferkamp, Qi Ye, Zhihan Zhang,
• Abstract要約: 本研究では,タスクの量子純度推定と内部積推定の複雑さについて検討する。 純度推定では、未知の量子状態$rho$の$tr(rho2)$を加算誤差$epsilon$に見積もる。 量子内積推定では、アリスとボブは$tr(rhosigma)$を加算誤差$epsilon$未知の量子状態$rho$と$sigma$のコピーとして推定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.94496959777308
• License:
• Abstract: We study the sample complexity of the prototypical tasks quantum purity estimation and quantum inner product estimation. In purity estimation, we are to estimate $tr(\rho^2)$ of an unknown quantum state $\rho$ to additive error $\epsilon$. Meanwhile, for quantum inner product estimation, Alice and Bob are to estimate $tr(\rho\sigma)$ to additive error $\epsilon$ given copies of unknown quantum state $\rho$ and $\sigma$ using classical communication and restricted quantum communication. In this paper, we show a strong connection between the sample complexity of purity estimation with bounded quantum memory and inner product estimation with bounded quantum communication and unentangled measurements. We propose a protocol that solves quantum inner product estimation with $k$-qubit one-way quantum communication and unentangled local measurements using $O(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon,2^{n-k}/\epsilon^2\})$ copies of $\rho$ and $\sigma$. Our protocol can be modified to estimate the purity of an unknown quantum state $\rho$ using $k$-qubit quantum memory with the same complexity. We prove that arbitrary protocols with $k$-qubit quantum memory that estimate purity to error $\epsilon$ require $\Omega(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\sqrt{\epsilon},2^{n-k}/\epsilon^2\})$ copies of $\rho$. This indicates the same lower bound for quantum inner product estimation with one-way $k$-qubit quantum communication and classical communication, and unentangled local measurements. For purity estimation, we further improve the lower bound to $\Omega(\max\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon\})$ for any protocols using an identical single-copy projection-valued measurement. Additionally, we investigate a decisional variant of quantum distributed inner product estimation without quantum communication for mixed state and provide a lower bound on the sample complexity.
• Abstract（参考訳）: 原型タスクの量子純粋度推定と量子内積推定のサンプル複雑性について検討する。 純度推定では、未知の量子状態の$tr(\rho^2)$を加算誤差$\epsilon$に推定する。 一方、量子内積推定では、アリスとボブは、古典的な通信と制限された量子通信を用いて、未知の量子状態のコピーである$\rho$と$\sigma$の加算誤差$\epsilon$を推定する。 本稿では、有界量子メモリによる純度推定のサンプル複雑性と、有界量子通信と無絡状態測定による内積推定との強い関連性を示す。 我々は、$O(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon,2^{n-k}/\epsilon^2\})$ $\rho$ と $\sigma$ のコピーを用いて、量子内積推定を$k$-qubit で解くプロトコルを提案する。 我々のプロトコルは、同じ複雑さを持つ$k$-qubit量子メモリを用いて、未知の量子状態$\rho$の純度を推定するために修正することができる。 誤りを推定する$k$-qubit量子メモリを持つ任意のプロトコルは$\rho$のコピーとして$\Omega(median\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\sqrt{\epsilon},2^{n-k}/\epsilon^2\})が必要であることを証明している。 これは、一方向$k$-qubitの量子通信と古典的な通信、および非絡み合った局所測定による量子内積推定に対する同じ低い境界を示す。 純度推定のために、同一の単一コピー投影値測定を用いて任意のプロトコルに対して$\Omega(\max\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon\})$に下限を改良する。 さらに、混合状態の量子通信を伴わない量子分散内積推定の決定的変種について検討し、サンプルの複雑さを低くする。

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