論文の概要: Beyond Discretization: Learning the Optimal Solution Path

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.14885v2
• Date: Tue, 12 Nov 2024 18:42:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-13 13:16:39.900667
• Title: Beyond Discretization: Learning the Optimal Solution Path
• Title（参考訳）: 離散化を超えて - 最適なソリューションパスを学ぶ
• Authors: Qiran Dong, Paul Grigas, Vishal Gupta,
• Abstract要約: 本稿では,解経路を基底関数の集合でパラメータ化し,エンフィングル最適化問題を解く手法を提案する。 我々の手法は、離散化よりも相当に複雑化している。 また、機械学習に共通する特殊なケースに対して、より強力な結果を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.9675360887122646
• License:
• Abstract: Many applications require minimizing a family of optimization problems indexed by some hyperparameter $\lambda \in \Lambda$ to obtain an entire solution path. Traditional approaches proceed by discretizing $\Lambda$ and solving a series of optimization problems. We propose an alternative approach that parameterizes the solution path with a set of basis functions and solves a \emph{single} stochastic optimization problem to learn the entire solution path. Our method offers substantial complexity improvements over discretization. When using constant-step size SGD, the uniform error of our learned solution path relative to the true path exhibits linear convergence to a constant related to the expressiveness of the basis. When the true solution path lies in the span of the basis, this constant is zero. We also prove stronger results for special cases common in machine learning: When $\lambda \in [-1, 1]$ and the solution path is $\nu$-times differentiable, constant step-size SGD learns a path with $\epsilon$ uniform error after at most $O(\epsilon^{\frac{1}{1-\nu}} \log(1/\epsilon))$ iterations, and when the solution path is analytic, it only requires $O\left(\log^2(1/\epsilon)\log\log(1/\epsilon)\right)$. By comparison, the best-known discretization schemes in these settings require at least $O(\epsilon^{-1/2})$ discretization points (and even more gradient calls). Finally, we propose an adaptive variant of our method that sequentially adds basis functions and demonstrates strong numerical performance through experiments.
• Abstract（参考訳）: 多くのアプリケーションは、ソリューションパス全体を取得するために、ハイパーパラメータ $\lambda \in \Lambda$ でインデックス付けされた最適化問題の族を最小化する必要がある。 従来のアプローチでは、$\Lambda$を離散化し、一連の最適化問題を解く。 本稿では, 解経路を基底関数の集合でパラメータ化し, 解経路全体を学ぶための確率最適化問題を解く方法を提案する。 我々の手法は、離散化よりも相当に複雑化している。 定数ステップサイズSGDを使用する場合、真経路に対する学習解経路の均一誤差は、基底の表現性に関連する定数に対する線形収束を示す。 真の解経路が基底の幅にあるとき、この定数はゼロである。 $\lambda \in [-1, 1]$と解パスが$\nu$-times differentiable, constant step-size SGDは、少なくとも$O(\epsilon^{\frac{1}{1-\nu}} \log(1/\epsilon))$イテレーションの後、$\epsilon$一様エラーを学習し、解パスが解析されている場合、$O(\log^2(1/\epsilon)\log(1/\epsilon)\right)$のみを必要とする。 対照的に、これらの設定で最もよく知られた離散化スキームは、少なくとも$O(\epsilon^{-1/2})$離散化点(さらに勾配呼び出し)を必要とする。 最後に,基本関数を逐次付加し,実験により強い数値性能を示す適応型手法を提案する。

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