論文の概要: Learning efficient and provably convergent splitting methods

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.09444v1
• Date: Thu, 14 Nov 2024 13:45:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-15 15:23:20.754767
• Title: Learning efficient and provably convergent splitting methods
• Title（参考訳）: 効率的かつ確実な収束分割法を学習する
• Authors: L. M. Kreusser, H. E. Lockyer, E. H. Müller, P. Singh,
• Abstract要約: 本研究では,機械学習による分割手法の探索を行うフレームワークを提案する。 学習手法は, 時間ステップサイズを総合的に構成することで, Schr"odinger 方程式の確立した方法よりもはるかに効率的であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Splitting methods are widely used for solving initial value problems (IVPs) due to their ability to simplify complicated evolutions into more manageable subproblems which can be solved efficiently and accurately. Traditionally, these methods are derived using analytic and algebraic techniques from numerical analysis, including truncated Taylor series and their Lie algebraic analogue, the Baker--Campbell--Hausdorff formula. These tools enable the development of high-order numerical methods that provide exceptional accuracy for small timesteps. Moreover, these methods often (nearly) conserve important physical invariants, such as mass, unitarity, and energy. However, in many practical applications the computational resources are limited. Thus, it is crucial to identify methods that achieve the best accuracy within a fixed computational budget, which might require taking relatively large timesteps. In this regime, high-order methods derived with traditional methods often exhibit large errors since they are only designed to be asymptotically optimal. Machine Learning techniques offer a potential solution since they can be trained to efficiently solve a given IVP with less computational resources. However, they are often purely data-driven, come with limited convergence guarantees in the small-timestep regime and do not necessarily conserve physical invariants. In this work, we propose a framework for finding machine learned splitting methods that are computationally efficient for large timesteps and have provable convergence and conservation guarantees in the small-timestep limit. We demonstrate numerically that the learned methods, which by construction converge quadratically in the timestep size, can be significantly more efficient than established methods for the Schr\"{o}dinger equation if the computational budget is limited.
• Abstract（参考訳）: 分割法は、複雑な進化を効率的に正確に解けるより管理可能なサブプロブレムへと単純化する能力により、初期値問題(IVP)の解決に広く用いられている。 伝統的に、これらの手法はテイラー級数とそのリー代数アナログであるベーカー-カンプベル-ハウスドルフの公式を含む解析的および代数的手法を用いて導出される。 これらのツールは、小さな時間ステップに対して例外的な精度を提供する高次数値法の開発を可能にする。 さらに、これらの方法はしばしば質量、ユニタリティ、エネルギーといった重要な物理的不変量を保存する。 しかし、多くの実用的な応用において、計算資源は限られている。 したがって、固定された計算予算内で最高の精度を達成する方法を特定することが不可欠であり、これは比較的大きな時間を要する可能性がある。 この体制では、従来の手法から導出された高階法は、漸近的に最適であるように設計されているだけであるため、大きな誤差を生じることが多い。 機械学習技術は、与えられたIPPを少ない計算リソースで効率的に解けるように訓練できるので、潜在的な解決策を提供する。 しかし、それらは純粋にデータ駆動であり、小さな段階の体制において限定的な収束を保証することができ、必ずしも物理的不変量を保存するとは限らない。 本研究では,大規模な時間ステップに対して計算効率が高く,最小時間制限下での収束と保全の保証が保証できる機械学習分割手法を見つけるためのフレームワークを提案する。 計算予算が制限された場合のSchr\"{o}dinger方程式の定式化よりも, 時間ステップサイズを2次収束させることで, 学習手法の効率が著しく向上できることを数値的に示す。

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